Ableitung zum Berechnen des Hoch- und Tiefpunktes. Wie löse ich nach dem Nullsetzen nach x auf?

Question

Ableitung von \( f(x)=\frac{3}{4} x^{4}-x^{3}-3 x^{2} \)

Ansatz/Problem:

\( f(x)=\frac{3}{4} x^{4}-x^{3}-3 x^{2} \\ f^{\prime}(x)=\frac{12}{4} x^{3}-3 x^{2}-6 x \\ 0 = 3x^{3}-3 x^{2}-6 x \\ 0 = x^{2}\left(3 x^{2}-3 x-6 x\right) \)

Wo liegt mein Fehler?

Answer 1

Hi,

Du hast falsch ausgeklammert.

Richtig:

f'(x) = 3x^3-3x^2-6x

f'(x) = 3x·(x^2-x-2)

(Habe praktischerweise die 3 gleich mit rausgezogen...erlaubt direkte Anwendung der pq-Formel)

Du kommst nun selbst weiter?

Zur Kontrolle die Lösungen: x_{1} = 0, x_{2} = -1 und x_{3} = 2

Grüße

Answer 2

Du hast falsch ausgeklammert.

Comments

Ersteinmal vielen dank,nur woher weiss ich dann ob es ein hoch oder tiefpunkt ist?

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Indem du die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzt und dann guckst, welches Vorzeichen das Ergebnis hat.

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Irgendwie bin ich nun verwirrt da bei zwei antworten unterschiedliche Ergebnisse sind

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Du meinst die Antworten von Unknown und Emre? Da stehen doch aber bei beiden Antworten die gleichen Nullstellen der Ableitung, nämlich 0, -1 und 2.

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Nur weiss ich nicht wie ich auf das Ergebnis komme, weder mit Pw noch mit der mitternachtsformel

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Wie Unknown geschrieben hat, ist \(f'(x)=3x(x^2-x-2)\). Damit die Ableitung 0 wird, muss einer der Faktoren 0 werden. D.h. entweder \(3x=0\) oder \(x^2-x-2=0\). Im ersten Fall ist x=0, das ist die erste Lösung.
Für den zweiten Fall benutzt du die Mitternachtsformel. Wenn du damit nicht auf die richtige Lösung kommst, musst du hier mal deinen Lösungsweg posten.

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Das ist mein Lösungsweg:

\( 3 x\left(x^{2}-x-2\right) \)
\( -1 \pm \frac{\sqrt{1^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-2)}}{2 \cdot 1} \)
\( -1 \pm \frac{\sqrt{1+8}}{2} \)
\( -1 \pm \frac{\sqrt{9}}{2} \)
\( -1 \pm \frac{3}{2} \)
\( x_{1}=\frac{+5}{2} \quad x_{2}=\frac{1}{2} \)

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Die Mitternachtsformel lautet \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).
D.h. am Anfang muss nicht -1, sondern 1 stehen, und außerdem gehört diese 1 mit auf den Bruchstrich.
Und dann kommst du auch auf die richtige Lösung.

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Ok, habe jetzt die richtigen Ergebnisse herausbekommen :-)
Aber für was steht denn jetzt eigentlich das x=0? Muss ich das in die ursprüngliche Funktion einsetzten?

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Bei x=0 ist die erste Ableitung 0 (genauso wie bei x=-1 und bei x=2).
Um zu überprüfen, ob dort ein Maximum oder Minimum vorliegt, setzt du diese x-Werte in die zweite Ableitung ein.
Wenn du die Funktionswerte an diesen Stellen berechnen willst, musst du in die ursprüngliche Funktion einsetzen.

Answer 3

Hi,

willst Du 3x³-3x²-6x=0 nach x auflösen? Dann klammere aus und nutze Satz vom Nullprodukt

x(3x²-3x-6)

x₁=0

nun löse 3x²-3x-6=0 mittels pq-Formel nach x auf ;)

x₂=2 und x₃=-1

Answer 4

Dennoch geht folgendes ausklammern auch:

0 = x(3x² - 3x - 6)

x₁ = 0 ; x₂= -1 ; x₃ = 2

Das gleiche Ergebnis!