Aufgabe:
Sei \( V=\left\{\left[\begin{array}{ll}a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3}\end{array}\right] \mid a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \) der Vektorraum der reellen symmetrischen \( 2 \times 2 \)-Matrizen.
a) Zeigen Sie, dass die Abbildung \( \quad\langle, . \cdot\rangle_{1}: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \)
\( \left\langle\left[\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right]\right\rangle_{1}=2 a_{1} b_{1}+3 a_{2} b_{2}+a_{2} b_{3}+a_{3} b_{2} \)
kein Skalarprodukt von \( V \) ist.
b) Zeigen Sie, dass die Abbildung \( \quad\langle.,. \rangle_{2}: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \)
\( \left\langle\left[\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right]\right\rangle_{2}=4 a_{1} b_{1}-2 a_{1} b_{3}-2 a_{3} b_{1}+2 a_{2} b_{2}+2 a_{3} b_{3} \)
ein Skalarprodukt von \( V \) ist.
c) Berechnen Sie mit dem Verfahren von Gram-Schmidt aus der Basis
\( \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right]\right\} \)
von \( V \) eine Orthonormalbasis von \( V \) bezügliches des Skalarproduktes \( \langle \cdot , \cdot\rangle_{2} \).
