Für welche reelle Zahl a besitzt das folgende Gleichungssystem genau eine Lösung ...

Question

Für welche reelle Zahlen \( a \) besitzt das folgende Gleichungssystem

a) genau eine Lösung

b) keine Lösung

c) unendlich viele Lösungen ?

\( \begin{array}{r} x+y-z=1 \\ x+2 y+a z=2 \\ 2 x+a y+2 z=3 \end{array} \)

Ansatz/Problem:

Wie geht man hier am besten vor? Die erste Gleichung in Abhängigkeit von y lösen und in die anderen einsetzen?

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1    1    -1       1

1     2     a       2        - 1. Zeile

2     a     2       3         - 2* 1. Zeile

1    1    -1            1

0     1     a+1       1       

0     a-2     4         1     - 2.Zeile * (a-2)

1    1    -1                            1

0     1     a+1                         1       

0     0     4-(a+1)*(a-2)         1 -(a-2)

1    1    -1                            1

0     1     a+1                         1       

0     0     -a^2+a+6              3-a  | :(3-a)

1    1    -1                            1

0     1     a+1                         1       

0     0     a+2                        1

Hatte ich mich vorhin wohl was vertan.

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Dann hast du das doch davor auch nicht richtig eingesetzt, oder?
Ich habe jetzt 0, 1, a+1 und 1 eingesetzt:

Wieso erhalte ich für 2 jetzt unendlich viele Lösungen?

Answer 1

Hier meine Berechnungen

x = ( a - 3 ) / ( a - 1 )
y = 1 / ( a -2 )
z = ( a - 3 ) / [ (a -2 ) * ( a -1 ) ]

Für a = 1 und a = 2 gibt es keine Lösungen
( Division durch 0 )

Die Antworten auf die anderen beiden Fragen kenne ich nicht.

mfg Georg

Comments

für a=1 kriege ich (1 ;  1/3 ; 1/3 ) als Lösung.

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Ist z nicht positiv, wenn man die erste Gleichung nach x auflöst?

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@Georg: Deine erste Umformung \(x=1-y-z\) ist schon falsch. Richtig ist \(x=1-y+z\).

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@Fragesteller
Korrektur :
In der ersten Gleichung habe ich + und - bei z vertauscht.
Falls die hier gegebenen Antworten nicht ausreichen dann bitte
wieder melden.

Answer 2

besser zeilenstufenform herstellen:
gibt:
2     a      2       3
0    a-2    4       1
0     0     a+2     1  
letzte Gleichung gibt
(a+2) * z = 1   hat keine Lösung, wenn a=-2

sonst immer genau eine  Lösung für z.

 (a-2) * y +4*1/(a+2) = 1
(a-2) * y                     = 1 - 4/(a+2) = (a - 2) / (a+2)
also für a=2     0*y=0 unendlich viele Lösungen

und die erste Gleichung ist immer lösbar.

Also a=2 unendlich viele
a=-2 keine sonst immer genau eine.

Comments

Wie bist du jetzt genau auf die Werte für die Zeilenstufenform gekommen?

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Warum soll es für \(a=2\) unendlich viele Lösungen geben? Und was ist, wenn \(a=3\)?