Injektive Abbildungen Inversität / injektiv und / oder Surjektiv

Question

Aufgabe:

a) Geben Sie jeweils eine injektive Abbildung \( \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{R} \) und eine surjektive Abbildung \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}_{0} \) an. Sind die von Ihnen angegebenen Abbildungen zueinander invers?

b) Sei \( A(m)=\left\{a \in \mathbb{N}_{0} \mid a \leq m-1\right\} . \) Die Zuordnung \( \alpha: A(m) \rightarrow A(m) \) sei dadurch definiert, dass \( \alpha(b) \) eine Zahl in \( A(m) \) sein soll, die kongruent zu \( 3 b \) modulo \( m \) ist. Entscheiden Sie für \( m=7 \) und für \( m=9 \) jeweils, ob das eine Abbildung ist, und falls ja, ob diese injektiv und/oder surjektiv ist.

Begründen Sie jeweils Ihre Antworten.

Answer 1

f: INo ---->  IR mit  f(x)=x   ist injektiv, da aus f(x1)=f(x2) sofort x1=x2 folgt.

g: IR -----> INo mit g(x) =  x , falls x aus INo und g(x)=0 sonst.

ist surjektiv, da INo Teilmenge von IR, also jedes x aus INo als Bild vorkommt.

Sie sind nicht zueinander invers, da z.B. g(f( 3,5)) = g(3,5) = 0 ungleich 3,5

b) für m=7 ist A(7)= { 0,1,2,...,6}

(ich schreib mal f statt alpha)   und f(b) soll ja kongruent 3 MOD 7 sein und aus A(7).

dann muss f(b) = 3*b + n*7 mit irgendeinem n aus Z sein.

also z.B f(0) = y = 0 + n*7  , dass geht für y aus A(7) nur falls y=0

ebenso kann man alle anderen prüfen

f(1) = y = 3 + n*7  , dass geht für y aus A(7) nur falls y=3   etc.

f(4) = y = 3*4 + n*7  , dass geht für y aus A(7) nur falls y=2   etc.

Also ist jedes Mal y eindeutig bestimmt, also f eine Abb.

Dabei kommen alle Zahlen aus A(7) als y-Wert vor, also Abbildung surjektiv

und es werden auch nicht verschiedenen x-Werten gleiche y-Werte zugeordnet,

also auch injektiv.

Anders bei m=9

z.B.   f(1) = y = 3 + n*9 das gäbe y=3

      f(2) = y = 6 + n*9 das gäbe y=6

     f(3) = y = 9 + n*9 das gäbe y = 0

     f( 4) = y = 12 + n*9 das gäbe y=3

usw.  es ist also eine Abbildung, die nicht injektiv ist,

da f(1)=f(4) aber 1 ungleich 4 ist und

wenn du alle y-Werte bestimmst, siehst du auch, dass nicht alle

vorkommen, also nicht surjektiv.