f: INo ----> IR mit f(x)=x ist injektiv, da aus f(x1)=f(x2) sofort x1=x2 folgt.
g: IR -----> INo mit g(x) = x , falls x aus INo und g(x)=0 sonst.
ist surjektiv, da INo Teilmenge von IR, also jedes x aus INo als Bild vorkommt.
Sie sind nicht zueinander invers, da z.B. g(f( 3,5)) = g(3,5) = 0 ungleich 3,5
b) für m=7 ist A(7)= { 0,1,2,...,6}
(ich schreib mal f statt alpha) und f(b) soll ja kongruent 3 MOD 7 sein und aus A(7).
dann muss f(b) = 3*b + n*7 mit irgendeinem n aus Z sein.
also z.B f(0) = y = 0 + n*7 , dass geht für y aus A(7) nur falls y=0
ebenso kann man alle anderen prüfen
f(1) = y = 3 + n*7 , dass geht für y aus A(7) nur falls y=3 etc.
f(4) = y = 3*4 + n*7 , dass geht für y aus A(7) nur falls y=2 etc.
Also ist jedes Mal y eindeutig bestimmt, also f eine Abb.
Dabei kommen alle Zahlen aus A(7) als y-Wert vor, also Abbildung surjektiv
und es werden auch nicht verschiedenen x-Werten gleiche y-Werte zugeordnet,
also auch injektiv.
Anders bei m=9
z.B. f(1) = y = 3 + n*9 das gäbe y=3
f(2) = y = 6 + n*9 das gäbe y=6
f(3) = y = 9 + n*9 das gäbe y = 0
f( 4) = y = 12 + n*9 das gäbe y=3
usw. es ist also eine Abbildung, die nicht injektiv ist,
da f(1)=f(4) aber 1 ungleich 4 ist und
wenn du alle y-Werte bestimmst, siehst du auch, dass nicht alle
vorkommen, also nicht surjektiv.