Aufgabe:
Ist die Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) darstellbar als eine Linearkombination der dyadischen Produkte orthonormierter Vektoren \( \boldsymbol{h}_{1}, \ldots, \boldsymbol{h}_{r} \), also
\( A=\sum \limits_{i=1}^{r} \lambda_{i}\left(\boldsymbol{h}_{i} \boldsymbol{h}_{i}^{\top}\right) \quad \operatorname{mit}\left\langle\boldsymbol{h}_{i}, \boldsymbol{h}_{j}\right\rangle=\delta_{i j} \)
so sind die \( \boldsymbol{h}_{i} \) Eigenvektoren von \( A \) und die \( \lambda_{i} \) die zugehörigen Eigenwerte.
\( \delta_{i j} \) ist eine Kurzschreibweise und bedeutet
\( \delta_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & i=j \\ 0 & i \neq j \end{array}\right. \)
b) Beweisen Sie:
Zu jeder symmetrischen Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) gibt es eine orthonormierte Basis \( \left\{\boldsymbol{h}_{1}, \ldots \boldsymbol{h}_{n}\right\} \) derart, dass A darstellbar ist als eine Linearkombination der dyadischen Produkte, also
\( A=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left(\boldsymbol{h}_{i} \boldsymbol{h}_{i}^{\top}\right) \)
