Vektor nicht als Linearkombination darstellbar? Könnt ihr meinen Rechenansatz überprüfen oder weiterführen? Bitte

Question

Die aufgabe lautet " für welche reellen zahlen a ist x(vektor) nicht als linearkombination der übrig gegebenen vektoren  darstellbar?" Und nun bin ich zum letzten schritt gekommen aber ist das überhaupt richtig? Und was muss man nun für a einsetzen damit keine linearkombination möglich ist? Bitte um Hilfe bin verzweifelt :-( 

1 = 0r + as

3 = ar + s(a+1)

Answer 1

Durch a dividieren darfst du nur, wenn a≠ 0.

Daher könnte a= 0 der verlangte Wert von a sein. 

Überprüfe diese Vermutung. 

Es könnte sein, dass ein anderes a auch Probleme macht.

Division durch 0 ist immer gefährlich. 

Comments

Achsoo stimmt also hier ist man sich nicht sicher ob a ungleich 0 ist oder nicht. Aber was kann man sonst machen? Könntest du es für mich weiterführen? Wäre sehr toll dankeschön :-)

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1 = 0r + as   | (I)

3 = ar + s(a+1)        | (II)        

1 = as   | (I)

1/a = s  , falls a ≠ 0

3 = ar + (a+1)/a        | (II)        

3 - (a+1)/a = r 

3a/a - (a+1)/a = r

(2a + 1)/a = r 

r und s scheinen sich berechnen zu lassen, falls a≠0.

Fall a = 0. 

1 = 0r + 0s   | (I)      | geht nicht! 1≠0.

3 = 0r + s(0+1)  

Also: Für a= 0 lässt sich x nicht als Linearkomb. von b und a darstellen. 

Achtung! a ist ein Parameter und a ist ein Vektor (gleiche Bezeichnung ist eigentlich nicht zu empfehlen) 

Answer 2

Dein Ansatz und die Gleichung

        \(3 = ar + \frac{1}{a}(a+1)\)

sind richtig. Teilst du diese Gleichung durch \(a\), dann bekommst du 

        \(\frac{3}{a} = \frac{ar + \frac{1}{a}(a+1)}{a}\).

Verwende Bruchrechenregeln um diese Gleichung zu vereinfachen.

Comments

Und wie geht es weiter oder warum teile ich überhaupt durch das a? 

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Ah eine ich wollte ja nach r auflösen, aber warum ist das bei mir dann nicht richtig? Weil ich habe ja quasi durch a von ar geteilt 

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> aber warum ist das bei mir dann nicht richtig?

Weil es kein Rechengesetz gibt, das die von dir vorgenommene Umformung erlaubt.

Warum es kein solches  Rechengesetz gibt, kannst du dir leicht klar machen indem du in den Gleichungen vor und nach der Umformung \(a=2\) und \(r=\frac{3}{4}\) einsetzt. Dann stimmt nämlich die Gleichung vor der Umformung; die Gleichung nach der Umformung stimmt aber nicht mehr.

Zunächst solltest  du erkennen, dass die zweite von mir angegebene Gleichung die korrekte Art ist, die erste Gleichung durch  \(a\) zu teilen. Zur Erinnerung: Die Notation "| : a" bedeutet nicht anderes als "beide Seiten der Gleichung werden durch a geteilt". Außerdem solltest du wissen: das Geteilt-Zeichen kann durch einen Bruchstrich ersetzt werden.

Dieser Zwischenschritt, die Gleichung

        \(\frac{3}{a} = \frac{ar + \frac{1}{a}(a+1)}{a}\)

explizit hinzuschreiben, wird Schülern viel zu früh abgewöhnt. Deshalb haben sie dann später Probleme mit Gleichungsumformungen. Schrebe diesen Zwischenschritt deshalb trotzdem hin.