Hallo Xtream_26
Der gegebene Vektor mit dem Parameter \(a \) soll sich als Linearkombination der anderen beiden Vektoren darstellen lassen, das schreiben wir hin
$$ x\cdot \begin{pmatrix}2\\3 \\ -2 \end{pmatrix} + y\cdot \begin{pmatrix}-1\\ 1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\2 \\ -8\end{pmatrix} $$ und erhalten das Gleichungssystem
$$2x - y = a \\3x + y = 2 \\-2x + 2y = -8 $$Das versuchen wir z.B. mit dem Gaußalgorithmus zu lösen. Wir schreiben die erweiterte Koeffizientenmatrix auf
$$\left( \begin{matrix} \phantom{-}2 & -1\\ \phantom{-}3 & \phantom{-}1\\ -2 & \phantom{-}2 \end{matrix}\left|\begin{matrix} \phantom{-}a \\ \phantom{-}2 \\ -8 \end{matrix}\right)\right.$$ und bringen sie in die Treppennormalform, die wir nach einigen wenigen Umformungen bekommen.
$$\left( \begin{matrix}1 & 0\\ 0 &1\\ 0 & 0 \end{matrix}\left| \begin{matrix}a-4 \\ a-8 \\ -8a+44 \end{matrix}\right)\right. $$Das Gleichungssystem ist lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Das ist der Fall wenn \(-8a + 44 = 0 \) gilt. Auflösen nach \(a \) ergibt \(a = 5,5 \).
Grüße
