Signen von Permutationen besitmmen...

Question

Für \(i \in [1, 8]\) sei \(\pi_i \in \operatorname{Sym}_{12}\) gegeben durch $$\begin{aligned} & \text{\(\pi_1 = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)\), \(\pi_2 = (1, 2, 3, 4, 5) (6, 7) (8, 9, 10) (11, 12)\),} \\ & \text{\(\pi_3 = (1, 2, 3) (4, 5, 6) (7, 8, 9) (10, 11, 12)\), \(\pi_4 = (1, 2, 3) (4, 5) (6, 7) (8, 9) (10, 11, 12)\),} \\ & \text{\(\pi_5 = (1, 2, 3, 4) (5, 6, 7, 8) (9, 10, 11, 12)\), \(\pi_6 = (1, 2) (3, 4) (5, 6) (7, 8) (9, 10) (11, 12)\),} \\ & \text{\(\pi_7 = (1, 2) (3, 4, 5) (6, 7) (8, 9, 10) (11, 12)\), \(\pi_8 = (1, 2, 3, 4, 5, 6) (7, 8, 9, 10, 11, 12)\).} \end{aligned}$$ Bestimmen Sie die Signen der folgenden Permutationen.

a) \(\pi_5\)

b) \(\pi_8^{- 1}\)

c) \(\pi_7 \pi_4 \pi_7^{- 1}\)

d) \(\pi_5 \pi_6\)

e) \(\pi_6 \pi_2^{- 2} \pi_6^{3} \pi_8^{- 4} \pi_4^3\)

Comments

Symmetric Group = Symmetrische Gruppe

Answer 1

Du musst die Fehlstände zählen. Die entsprechen den Zyklen. Da du ja die Permutationen in Zykelschreibweise gegeben hat kannst du sie ablesen:

Ist es eine gerade Anzahl an geraden Zykeln, dann ist das Signum 1, bei ungeraden Zyklen -1.

Aus Wikipedia: "Eine Permutation kann zudem auch in Zyklen zerlegt werden und ist genau dann gerade, wenn die Anzahl der Zyklen gerader Länge gerade ist."

Z.B. ist signum(pi_5) = -1. Denn diese Permutation hat 3 gerade Zykel, also 3 Fehlstände.

Eine Permutation hoch -1 ist übrigens das Inverse einer Permutation, also die Permutation, die eine Permutation rückgängig macht. Die Anzahl der Fehlstände bleibt hier gleich.

Answer 2

das Signum einer Permutation in Zykelschreibweise lässt sich relativ leicht berechnen:

Sei \(r\) die Anzahl der Zyklen und \(m_i\) die Länge des \(i\)-ten Zykels (\(i \in \{1,...,r\}\)). Dann ist

$$ sgn(\pi) = (-1)^{m_1+..+m_r - r}$$

Beispiel: Betrachte \(\pi_2\). Du hast 4 Zyklen mit den Längen 5, 2, 3 und 2.

$$ sgn(\pi_2) = (-1)^{12-4} = 1 $$

Für die restlichen Aufgaben kannst du noch die Zusammenhänge:

$$ sgn(\pi^{-1}) = sgn(\pi) $$

$$ sgn(\pi \circ \tau) = sgn(\pi) \cdot sgn(\tau) $$

verwenden.

Gruß