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Ich habe leider keine Ansätze zur folgenden Aufgabe:


Bestimmen Sie. Geben Sie Permutationen in Zykelschreibweise an.      [Geben Sie eine Permutation in Zykelschreibweise wie folgt ein: Geben Sie keine \(1\)-Zykel an. Ordnen Sie die Eintr{\a}ge jedes einzelnen Zykels so, dass der kleinste Eintrag an vorderster Stelle steht. Trennen Sie die Eintr{\a}ge jedes Zykels durch Kommata und verwenden Sie keine Leerzeichen. Ordnen Sie die Zykel so, dass die jeweiligen ersten Eintr{\a}ge in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind. Verwenden Sie keine Leerzeichen oder Kompositionssymbole zwischen den Zykeln. Also bspw.\   \[(9, 3, 7) (8) (4, 2, 1, 5) (6) = (9, 3, 7) (4, 2, 1, 5) = (3, 7, 9) (1, 5, 4, 2) = (1, 5, 4, 2) (3, 7, 9)\]   als \texttt{(1,5,4,2)(3,7,9)}.]

a)\((2, 5, 8, 9, 3, 4) (1, 6, 3, 8) (2, 7, 4, 5)\)


b)\((1, 3, 5, 7, 9, 8, 6, 4, 2) (1, 9, 8, 7) (2, 5) (3, 4, 6) (1, 3, 5, 7, 9, 8, 6, 4, 2)^{- 1}\)


c)\(\min{\set[k \in \Naturals]{(1, 7, 4, 9, 2)^k = \id_{[1, 9]}}}\)


d)\(((1, 4, 9, 3, 7) (2, 8, 6))^{- 1}\)


e)\(j \in [1, 9]\) mit \((1, 3) (1, 5) (3, 4) (2, 8) (1, j) (3, 9) (6, 7) (4, 6) (2, 5) = (1, 4, 7, 6) (2, 3, 9, 5, 8)\)


f)\(\min{\set[k \in \Naturals]{((1, 5) (2, 8, 6))^k = \id_{[1, 9]}}}\)


g)\(\pi \in \SymmetricGroup{9}\) mit \(\pi \comp (3, 5, 7, 8, 4) = (1, 7, 9) (2, 4, 8, 3)\)


Bitte um Hilfe!!!
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a) geht z.B. so:

Schreib dir alle Zahlen von 1 bis 9 auf:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dann gehst du für jede die Verknüpfung durch:

1 gibt es im ganz rechten Zykel nicht, aber im mittleren dort führt es zu 6 und sechs gibt es im letzten wieder nicht, also schreibst du:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

6

Das machst du für alle Zahlen. Immer von rechts nach links. (Zwischen den Klammern steht ein Verknüpfungszeichen; der Kringel)

Und am Ende hast du:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

6 7 9 8 5 4 2 1 3

Diese Permutation musst du dann als Antwort in Zykelschreibweise angeben. Dazu schaust du dir die 1 an sie führt zu 6, die führt zu 4, die führt zu 8 und die wieder zur 1. Also schreibst du:

(1,6,4,8)

Dann suchst du dir die nächst größere Zahl, die in diesem ersten Zykel nicht vorkam und machst mit ihr weiter. Dann erhältst du:

(1,6,4,8)(2,7)(3,9)(5)

Hier streichst du noch den Einer-Zykel (5) und deine Antwort ist:

(1,6,4,8)(2,7)(3,9)

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c) (1,7,4,9,2) ist ein einziger Zyklus der Länge 5.

Wenn man diese Permutation mehrmals nacheinander ausführt (das 'hoch k' steht für k mal nacheinander) so kommt man bei 'hoch 5' zum ersten Mal zur Ausgangslage zurück.

Das gesuchte Minimum ist also 5. (Vorausgesetzt 0 gehört bei euch nicht zu N). Ansonsten geht natürlich auch 0.

Schreibe also 5 = min{ k Element N | (1,7,4,9,2)^k = id_([1,9]) }

f) Das k hier ist das kgV der Zykellängen 2 und 3. Also 2*3 = 6.

Immer noch in der Annahme, dass ihr 0 nicht zu N zählt. Ansonsten wäre es 0.

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