Aufgabe:
Bestimmen Sie von allen unten angegebenen Permutationen σ i ∈ S7 jeweils
Darstellungen in Matrixschreibweise, als Produkt von elementfremden Zykeln und
als Produkt von Transpositionen. Bestimmen Sie jeweils die Signatur:
σ1 = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 1 & 5 & 2 & 7 & 3 & 6 \end{pmatrix} \)
σ2 = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 4 & 7 & 5 & 1 & 6 & 2 \end{pmatrix} \)
σ 3 = (1432)(567), σ 4 = (1432)(5476)(12), σ 5 = (12)(13)(45)(27)(24), σ 6 = σ 4 σ 1 σ 3 .
(ii) Zeigen Sie, dass für jedes σ ∈ S m (und jeden Körper K) genau eine Matrix
A σ ∈ Mat m (K) existiert mit
A σ = \( \begin{pmatrix} c1\\bis\\cm \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} cσ(1)\\bis\\cσ(m) \end{pmatrix} \)
(Entschuldigt die Schreibweise, irgendwie sind die Vektoren bei mir verbuggt.
Problem/Ansatz:
Leider keinen Ansatz :(
LG
