Wieso ist der Grenzwert ln(x) von f(x) = n·(n-te Wurzel(x) - 1)?

Question

Aufgabe:

Ich suche nun den Grenzwert von n→unendlich und festes x>0 für:

\( f(x) = n · (\sqrt[n]{x}-1) \)

Laut Wolframalpha ist der Grenzwert ln(x). Aber wie soll man darauf kommen?

Answer 1

x= e^{ln x }

n= 1/u .... also u=1/n . ... mit u->0 wenn n->oo

n* ( x^{1/n} -1) ... -> .. [ e^{u * ln x } -1 ] / u

etwas verallgemeinert : sei u in R ->

lim_(u->0) { [ e^{u * ln x } -1 ] / u }  ..... de l ' Hospital ->

lim_(u->0) { [ ln x * e^{u * ln x }  ] / 1 }  = [ ln x * e^{0 * ln x }  ] / 1   = ln x