Grenzwert lim n->00 ln(n) - wurzel(n)

Question

Habe Probleme bei diesem Grenzwert. Kann mir bitte jemand den kompletten Lösungsweg zeigen?

L´hospital darf ich nicht verwenden.

Danke

$$\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \quad (ln(n)-\sqrt { n } )$$

Comments

√n ist eine Potenz von n.

Für grosse n-Werte ist eine Potenz von n immer stärker als der Logarithmus. (Wird in der Regel irgendwann im Kurs mal bewiesen und könnte dann hier benutzt werden)

Daher  ist dein Grenzwert "Minus Unendlich"

Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+%28ln%28n%29+-+√n%29

Zu deiner Aufgabe: Wenn ich eine Differenz mit einer Wurzel sehe, versuche ich jeweils als Erstes mit dem 3. Binom zu machen. Ob dir hier Erweitern mit (ln(n) + √n) etwas bringt, bezweifle ich aber.

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Ja hatten wir in der Vorlesung glaub ich mal gehabt.

Vielen Dank

Answer 1

lim (n → ∞) (LN(n) - √n)

lim (n → ∞) LN(EXP(LN(n) - √n))

lim (n → ∞) LN(n·EXP(- √n))

lim (n → ∞) LN(n/EXP(√n))

Dürft ihr hier wissen das die e-Funktion schneller gegen unendlich geht als eine lineare Funktion ?

Dann kann man jetzt sehen das der Quotient gegen 0 geht und damit der LN gegen minus unendlich strebt.

Comments

Ja wir dürfen wissen das die eFunktion schneller wächst.

Ich hab von der 3. zur 4. Zeile die rechnung nicht verstanden. Wie entsteht dort der Bruch?

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Eine Potenz mit negativem Exponenten kann man als Kehrwert schreiben wenn man den Exponenten dann positiv schreibt.

a^{-b} = 1/a^b

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Alles klar. Musste erst verstehen was EXP bedeutet.

Vielen Dank

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Achso.

EXP(x) = e^x

Ich habe das nur anders geschrieben, weil mir sonst das System die Ausdrücke zerschießt :)