Also mit L'Hospital sollte es gehen, da wir ja
$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{ln(a^n+b^n)}{n} = \frac{\infty}{\infty}$$
wegen a,b>1 haben:
$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{ln(a^n+b^n)}{n} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a^n ln(a)+b^nln(b)}{a^n+b^n}$$
$$= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{a^n ln(a)}{a^n+b^n} + \frac{b^nln(b)}{a^n+b^n} \right) = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{ln(a)}{1+\frac{b^n}{a^n}} + \frac{ln(b)}{\frac{a^n}{b^n}+1} \right)$$
$$= \frac{ln(a)}{1+0} +\frac{ln(b)}{\infty+1} = ln(a) \ .$$
Im vorletzten Schritt wurde a>b verwendet. Das Unendlich-Zeichen dort ist mathematisch nicht korrekt, soll aber deutlich machen, wieso der Bruch 0 wird.