Grenzwert lim n->00 wurzel(n+wurzel(n)) - wurzel(n)

Question

Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter . Kann mir jemand bitte den Lösungsweg schreiben.?

$$\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \quad \sqrt { n+\sqrt { n }  } -\quad \sqrt { n } $$

Vielen Dank

Answer 1

Erweitere mit \(  \sqrt{n +\sqrt{n}} + \sqrt{n} \) und benutze die dritte Binomische Formel.

Das Ergebnis ist $$  \frac{1}{\sqrt {1+\sqrt{\frac{1}{n}}}+1} $$ und das geht gegen \(  \frac{1}{2} \)

Comments

EDIT:
Antwort wurde bearbeitet.
Mein Kommentar ist somit nicht sinnvoll.

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Da warts Du aber schnell. Aber ich habe den fehler noch gesehen, trotzdem Danke.

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Kann mir jemand erklären wie man da kürzt? Ich komme nicht auf das ergebnis von ullim

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$$  \left( \sqrt{n+\sqrt{n}} - \sqrt{n} \right) \cdot \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n}} =  \frac{ n+\sqrt{n} -n  }{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}} + \sqrt{n}} = \frac{1}{ \sqrt{1+\frac{\sqrt{n}}{n}} + 1 } = \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{n}}} + 1} $$

Im vorletzten Schritt habe ich mit \( \frac{1}{\sqrt{n}} \) erweitert.

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Danke. Habs endlich verstanden.

Answer 2

erweitere mit

Ergebnis:

1/2