Beweisen, dass y√x:y = √xy ist.

Question

Ich würde gerne Wissen ob und wie ich beweißen kann, dass y√x:y gleich √xy ist.

Kann ich √xz oder y√x:y so umstellen, dass es die andere Gleichung ergibt oder wie könnte man es versuchen?

Ich versuchte es schon mit vielen verschiedenen Wegen jedoch immer Erfolglos.

Comments

Ist dir y>0 vorgegeben?

Du meinst vielleicht:

y√(x:y) gleich √(xy)       ???

Klammern zeigen wie weit die Wurzel gehen soll. 

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Hi, falls Du
$$ y\cdot \sqrt { \frac { x }{ y } } = \sqrt { xy } $$meinst, so gilt das nur für
$$ x \ge 0\text{ und }y>0. $$
Dürfte also schwer werden, das allgemein zu beweisen.

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Oder
x <= 0 und y < 0

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Nein. Allenfalls noch \(x=0\) und \(y\ne 0\).

Answer 1

Zu Wurzeln: Benutze die Formeln hier: https://www.matheretter.de/wiki/wurzel

Das Wichtigste dort ist:

Bei Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz geht der Wurzelexponent in den Exponenten der Potenz wie folgt über: $$ \sqrt [ \color{red}{a} ]{ x^\color{blue}{b} } = x^{\frac { \color{blue}{b} }{ \color{red}{a} }} $$

Farblos: 

$$\sqrt [{a} ]{ x^{b} } = x^{\frac {{b} }{{a} }}$$

So bekommst du die Wurzeln weg. Dann kannst du alles mit Potenzgesetzen "beweisen". Keine Probleme bekommst du, wenn du voraussetzen darfst, dass unter der Wurzel nichts Negatives steht.

EDIT: Ich musste die Farben entfernen, damit TeX umgewandelt wird. Wenn du Farbe sehen willst. Bitte Link ansehen oder den TeX-Code hierhin kopieren: https://www.matheretter.de/rechner/latex 

y√(x:y) gleich √(xy) ?  

Annahme y>0, x≥0. Umformung mit Potenzgesetzen. 

y√(x:y) = y*(x / y)^{1/2}  = y^1 * x^{1/2} *y^{-1/2} = x^{1/2} * y^{1-1/2} = x^{1/2} * y^{1/2} = (xy)^{1/2} = 

 √(xy)         

EDIT(Falls die Umwandlung nicht tut):  Nach dem ^  steht in Klammern der Exponent.  

Answer 2

Die einfache Variante

y * √ ( x / y )
√ y^2 * √ ( x / y )
√ ( y^2 * ( x / y ) )
√ ( y * x )

( Einschränkungen siehe die ersten Kommentare zur Frage )

Comments

Ich würde gerne wssen ob und wie ich beweisen kann, dass y√x:y gleich √xy ist.

Leider kann man es nicht beweisen da es nicht stimmt.

Gegenbeweis
x = -1
y = -4
y * √ ( x / y )
(-4) * √ ( -1  / - 4)
-4 * √ ( 1/4
-4 * 1/ 2 = - 2

√( x * y )
√  ( ( - 1 ) * ( -4 ) )
√ 4 = 2