Vereinfachen Sie den Term

Question

ich komme bei diesem Term nicht auf die Musterlösung:

$$ \left( \sqrt{ p+q }-\sqrt{ p-q } \right)^{ 2 } $$

Meine Lösung:

1. Schritt:

$$ \left( \sqrt { p+q } -\sqrt { -p+q }  \right) *\left( \sqrt { p+q } -\sqrt { -p+q }  \right)    $$

2. Schritt:

$$ \left( \sqrt { p+q } *\sqrt { p+q }  \right)-\left( \sqrt { p+q } *\sqrt { p-q }  \right)-\left( \sqrt { p-q } *\sqrt { p+q }  \right)-\left( \sqrt { p-q } *\sqrt { p-q }  \right)  $$

3. Schritt:

$$ \sqrt { { p }^{ 2 }+{ q }^ { 2 }}-\sqrt { { p }^{ 2 }-{ q }^ { 2 }}-\sqrt { { p }^{ 2 }-{ q }^ { 2 }}-\sqrt { { p }^{ 2 }+{ q }^ { 2 }}  $$

Meine Lösung:

$$ -2\sqrt{ p^{ 2 }-q^{ 2 } } $$

Musterlösung:

$$ 2p -2\sqrt{ p^{ 2 }-q^{ 2 } } $$

Wo habe ich denn das 2p verloren??

Danke und Gruß

Answer 1

Hi PN-01,

Dein zweiter Schritt ist für mich leider nicht nachzuvollziehen. Wie kommst Du da auf 4 Summanden mit je 2 kompletten (also zwei volle Wurzeln) Faktoren?

Nimm doch lieber die zweite binomische Formel ;).

$$\left( \sqrt{ p+q }-\sqrt{ p-q } \right)^{ 2 }$$
$$=(p+q) - 2\sqrt{p+q}\sqrt{p-q} + (p-q) $$
$$=2p-2\sqrt{p+q}\sqrt{p-q}$$

Da kann man nun noch die dritte binomische Formel verwenden und die beiden Wurzeln zusammenschreiben. Man kommt auf die Musterlösung:
$$=2p-2\sqrt{p^2-q^2}$$

Grüße

Comments

Hallo Unknown,

danke für die rasche Antwort. Deine Lösung macht definitiv mehr Sinn.

Mir fehlt noch ein wenig die Routine und die Logik, um die entsprechende Formel sofort zu erkennen, von daher rechne ich immer alles aus. Im zweiten Schritt habe ich die Faktoren des ersten Schrittes mit einander multipliziert. Da habe ich aber einen Vorzeichenfehler gemacht und die Wurzelgesetze nicht angewendet.

Wäre der 2 Schritt so korrekt?

$$ \left( \sqrt { p+q }  \right) *\left( \sqrt { p+q }  \right) -\left( \sqrt { p+q }  \right) *\left( \sqrt { p-q }  \right) -\left( \sqrt { p-q }  \right) *\left( \sqrt { p+q }  \right) +\left( \sqrt { p-q }  \right) *\left( \sqrt { p-q }  \right)  $$

Gruß PN-01

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Ah jetzt erkenne ich was Du da tun wolltes ;). Ja so passt das.

Du kannst auch gerne so vorgehen, doch wirst Du (auch wenn es richtig ist) eventuell eine Schlängellinie kassieren, da das mit der binomischen Formel schneller geht und die da sicher angewendet werden soll ;).