Unstetigkeit, wenn Funktion Betrag enthält

Question

$$h(x)=\frac {x^3-x^2}{2\cdot |x-1|}$$"Bestimmen Sie diejenigen Stellen, an denen h(x) unstetig ist sowie die Art der Unstetigkeit (hebbare Unstetigkeit, Polstelle, Sprung)."

Ich möchte kurz fragen, ob ich "richtig denke". Ich weiss, dass gilt:$$\frac {x^2}{2}, \quad x \ge1$$$$-\frac{x^2}{2}, \quad x<1$$

Der Graph kommt von links und ist bis und mit Stelle x = 0 mit Fall Nummer 2 definiert. Von Stelle 0 bis Stelle 1 erfolgt ein offenbar ein Sprung, denn die Funktionsgleichung ist eine andere. Ausserdem sind die links- und rechtsseitigen Grenzwerte voneinander verschieden (L = 0, R = 1/2).

Soweit so richtig bitte? 

Comments

Warum ist h an der Stelle x=0 nicht definiert?

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ist das eine rhetorische Frage, die mich didaktisch auf die Lösung führen soll oder einfach eine Verständnisfrage von Dir? ^^ Die Funktion ist meiner Meinung nach an der Stelle x = 0 definiert, sie ist dort jedoch unstetig.

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Entschuldige bitte, ich habe "ist ... bis auf die Stelle x=0 definiert" gelesen, mein Fehler! Allerdings ist Deine Funktion an der Stelle x=0 sehr wohl stetig, sie ist dort sogar differenzierbar. Wie kommst Du darauf, dass sie dort nicht stetig sein sollte?

Weiter schreibst Du: "Von Stelle 0 bis Stelle 1 erfolgt ein offenbar ein Sprung". Das wäre dann ein horizontaler Sprung?

Weiter heißt es: "Ausserdem sind die links- und rechtsseitigen Grenzwerte voneinander verschieden (L = 0, R = 1/2)". Die beiden Grenzwerte sind verschiede, aber nicht so, wie angegeben!

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Keine Ursache, Herr Kollege! 

Nun, ich ging überlegte so: Der Graph kommt von links, ist dort negativ und ist bis und mit x = 0 auf jeden Fall durch Fall zwei definiert. Für x grösser gleich 1 beginnt eine neue Funktion. Wie wäre das denn bitte mit den Grenzwerten? :/ Ich habe 2. Fall gegen 0 gehen lassen und 1. Fall gegen 1.

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$$ h(x)=\frac {x^3-x^2}{2\cdot |x-1|} = \begin{cases} \frac {x^2} {2}, \quad x \gt 1 \\ \\ -\frac {x^2} {2}, \quad x \lt 1 \\ \end{cases} $$ 

Das Obige zeigt, dasss wir uns nur um die Definitionslücke \(x=1\) kümmern müssen.

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Besten Dank für die Antwort: Ich sehe gerade: Du schreibst x grösser eins und nicht x grösser gleich eins. Ich glaube, daran scheint es zu liegen, beziehungsweise daran scheitert mein Gehirn. Aus welchem Grund bitte nimmst Du das grösser-Zeichen? Unserer Definition nach nimmt man für den positiven Fall nämlich x grösser gleich eins.

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An der Stelle \(x=1\) ist der Funktionsterm nicht definiert. Das bedeutet, \(f\) kann dort nicht durch den angegebenen Term definiert sein. Einen anderen haben wir aber nicht, insofern hat \(f\) eben hier eine Definitionslücke. Dagegen gibt es an der Stelle \(x=0\) keine Definitionsprobleme.

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Aso, ach nö, ich bin so dumm, das ist echt nicht mehr normal. -_- Habe die Definitionslücke elegant "überlesen"...

Gut, daher kann man 1 nicht einsetze, daher deckt man den Fall auch nicht ab. Und das heisst natürlich, dass bei x = 1 ein Wert fehlt und daher ist dort die Unstetigkeit, nämlich die Sprungstelle. 

Alles klar, besten Dank, Herr Gast.

Answer 1

deine Fallunterscheidung ist doch schon mal ganz gut. Durch diese weißt du schonmal das die Funktion überall außer eventuell bei x = 1 stetig ist. Wenn du den Fall x = 1 untersuchst siehst du aber, dass dort ein Sprung von -1/2 auf 1/2 statt findet und somit ist die Funktion bei x = 1 nicht stetig.

Gruß

Comments

Hello again ^^

Besten Dank. Nur steht in der ML, dass die Unstetigkeitsstelle bei x = 0 sei. Wurde da gepfuscht? 

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Warum sollte die Funktion bei x = 0 unstetig sein? Wahrscheinlich wurde sich nur verschrieben und x-1=0 gemeint. ML sind keine religiösen Schriften.

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:D Da hast Du recht mit Deinem letzten Satz. Trotzdem doch die Frage: Kann es daran liegen, dass in der ML für den positiven Fall das Grösser-Zeichen verwendet wird und nicht wie bei mir, das Grösser-Gleich-Zeichen? 

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Nein, wie sollte das denn wiederum zusammenhängen? Ich verstehe die Auffassung von dem anderen Gast und deiner ML, dass im positiven Fall ein Grösser-Zeichen verwendet werden soll. Habe aber auch schon oft gesehen, dass zur Vereinfachung die 0 ein positives Vorzeichen bekommt. Ist halt Definitionssache.

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Tut mir Leid, ich habe inzwischen festgestellt, dass ich Idiot die Definitionslücke bei x = 1 übersehen habe. -_-

Dann ist natürlich klar, wieso x > 1 ist und nicht grösser gleich. Dann ist auch klar, dass dort die Unstetigkeit ist und dann ist auch klar, dass die ML falsch ist. 

Herzlichen Dank trotzdem! 

Manchmal verliert man viel Zeit wegen Flüchtigkeitsfehlern, ist mühsam. (: