Betragsgleichung mit Betrag in einem Betrag

Question

Aufgabe:

||2x -8| - 3x| = 4

Problem/Ansatz:

<=> |2x-8|- |3x| =4 ?

Answer 1

||2x -8| - 3x| = 4

⇔

(1) |2x -8 - 3x| = 4 ∧ x ≥ 4
oder
(2) |8 - 2x - 3x| = 4 ∧ x < 4

wäre ein möglicher und einfacher Ansatz. Die Fallunterscheidung nach dem Argument des inneren Betrags löst diesen Betrag auf und bietet Möglichkeiten zum Zusammenfassen. Danach wird es einfacher.

Answer 2

Mache zunächst eine Fallunterscheidung für den inneren Betrag:

Fall 1: x>4 dann können die inneren Betragsstriche wegfallen |-8-x|=4. Die Lösung x=-4 widerspricht x>4.

Fall 2: x<4 dann können die inneren Betragsstriche nur wegfallen, wenn man das Vorzeichen des inneren Betrages ändert: |8-5x|=4. Die Lösung x=4/5 erfüllt die Forderung x<4.

Comments

Das ist so nicht richtig.

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Danke, sehe ich gerade auch. Habs verbessert.

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Ja, das war der eine Fehler. Doch irgendwie ist der Fall x=4 verschwunden und außerdem haben lineare Betragsungleichungen manchmal auch zwei Lösungen.

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1. Zunächst mal sollte x = 4 durch einen Fall abgedeckt werden.

2. |8 - 5·x| = 4 hat die Lösungen x = 0.8 ∨ x = 2.4

Answer 3

So richtig zufrieden bin ich mit meinem
Lösungsvorschlag nicht. Etwas Besseres ist mir aber
noch nicht eingefallen.

Wegen der Betragszeichen gibt es nur 4
Möglichkeiten
( (2x -8)*(+1) - 3x) *(+1) = 4
( (2x -8)*(-1) - 3x) *(+1) = 4
( (2x -8)*(+1) - 3x) *(-1) = 4
( (2x -8)*(-1) - 3x) *(-1) = 4

Lösungen
x = -12
x = - 4
x = 4/5
x = 12/5

Durch eine Probe ergibt sich :
die beiden letzten Lösungen stimmen.