Bruch-/Betragsgleichung lösen

Question

Aufgabe:

\( \frac{1}{|x-3|} \) + \( \frac{1}{x+3} \)  = 6

Ist meine Lösung/Ansatz so richtig? :)

Problem/Ansatz:

1. Fall: x-3 ≥ 0 => x≥3

\( \frac{1}{x-3} \) + \( \frac{1}{x+3} \)  = 6  | *(x-3)(x+3)

x+3 +  x-3 = 6(x-3)(x+3)

2x = 6(x²-9)

2x = 6x² - 54

6x² -2x -54 = 0

x² - \( \frac{1}{3} \)x - 9 = 0

x1/2 = 1/6+- \( \sqrt{1/36 + 9} \)

x1=3,17 ; x2= -2,84

L1 = {x∈ℝ | x = 3,17}

2. Fall x-3<0    x<3

\( \frac{1}{-(x-3)} \) + \( \frac{1}{x+3} \)  = 6

\( \frac{1}{-x+3)} \) + \( \frac{1}{x+3} \)  = 6 | *(-x+3)(x+3)

-x+3 + x+3  = 6(-x+3)(x+3)

6 =  6(-x² -3x +3x +9)

6 =  6(-x² +9)

6 = -6x² +54

-6x² + 48 = 0

-6x² = -48

x² = 8

x₁ = \( \sqrt{8} \) ; x₂ = -\( \sqrt{8} \)

L₂ = {x∈ℝ| -2,83; 2,83}

Lges = {x∈ℝ| -2,83; 2,83;  3,17}

Answer 1

Hallo

alles gut und richtig, ich ließe die √8 stehen, statt einem Näherungswert

Gruß lul

Answer 2

Text erkannt:

\( \frac{1}{|x-3|}+\frac{1}{x-3}=6 \)
\( \frac{1}{\sqrt{(x-3)^{2}}}+\frac{1}{x-3}=6 \mid \cdot \sqrt{(x-3)^{2}} \)
\( 1+\frac{\sqrt{(x-3)^{2}}}{x-3}=6 \cdot \sqrt{(x-3)^{2}} \mid \cdot(x-3) \)
\( (x-3)+\sqrt{(x-3)^{2}}=6 \cdot(x-3) \cdot \sqrt{(x-3)^{2}} \)
\( x-3=u \)
\( u+\sqrt{u^{2}}=6 \cdot u \cdot \sqrt{u^{2}} \)
\( u_{1}=0 \rightarrow \rightarrow x_{1}=3 \rightarrow \rightarrow \) kommt nicht in Frage
\( u_{2}=\frac{1}{3} \rightarrow \rightarrow x-3=\frac{1}{3} \rightarrow \rightarrow x_{2}=\frac{10}{3} \)
Probe:
\( \frac{1}{|3-3|}+\frac{1}{3-3}=6 \rightarrow \rightarrow \) stimmt nicht
\( \frac{1}{\left|\frac{10}{3}-3\right|}+\frac{1}{\frac{10}{3}-3}=6 \rightarrow \rightarrow \) stimmt
\( N\left(\frac{10}{3} \mid 0\right) \)

Comments

Mir ist aus Versehen  \( \frac{1}{x-3} \) statt   \( \frac{1}{x+3} \) reingerutscht.

Aber mir kam es auf den anderen Lösungsweg an.