Betragsgleichung in den komplexen Zahlen lösen

Question

Aufgabe:

Geben Sie alle Lösungen z ∈ ℂ der Gleichung |z+1|/|z-1|=1 an.

Problem/Ansatz:

An sich kann meines Erachtens z nur 0 sein. Aber das kommt mir irgendwie zu einfach vor. Gibt es in den komplexen Zahlen noch andere Lösungen bezüglich dieser Gleichung?

Answer 1

Schreibe \(z=a+b\mathrm{i}\) und berechne die Beträge. Es gibt noch weitere Lösungen.

Comments

Hallo das habe ich jetzt gemacht. Jedoch ist bei mir dann vollgendes Problem. Ich habe die Gleichung erstmal umgeschrieben in |z+1|=|z-1|

Im nächsten Schritt habe ich dann für z=a+bi eingesetzt , die Beträge berechnet und kam auf √(a²+2a+b²+1)=√(a²-2a+b²+1)und habe dann nach a umgestellt. Aber da komme ich auf a =0, heißt das jetzt, dass doch nur 0 die Lösung ist. Oder habe ich irgendwo ein Fehler gemacht?

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Gibt es denn auch eine Bedingung an b?

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Du kannst die Aufgabe auch geometrisch interpretieren.

Wo liegen die Punkte der Gaußschen Ebene, die von +1 und -1 den gleichen Abstand haben?

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Die Bedingung für b istja das b≠0 sein muss. Dmit es eine komplexe Zahl ist. Wenn ich jetzt diese Annahme nehme mein a=0 setze, komme ich auf b²+1 = b²+1  womit im Endeffekt unendlich viele Lösungen für b gibt . Und im Zusammenhang mit der Gaußebene wäre dann mein Gedanke, dass alle Punkte auf der Imaginären Achse liegen müssten. Damit der Abstand des Punktes zu 1 und -1 gleich ist. Demnach ist also 0+bi mit b∈ℝ die Lösung. Ist das richtig?

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Demnach ist also 0+bi mit b∈ℝ die Lösung. Ist das richtig?

Ja - das ist richtig!

https://www.desmos.com/calculator/irywfield4

zwei komplexe Zahlen haben den gleichen Betrag, wenn sie auf einem gemeinsamen Kreis um den Ursprung der Gauß'schen Ebene liegen. Verschiebe oben im Bild den Punkt \(z\) mit der Maus und achte darauf, dass \(z+1\) und \(z-1\) auf dem gleichen Kreis liegen.