lösen einer komplexen betragsgleichung

Question

Könnt ihr mir bitte bei folgender Aufgabe behilflich sein.

Die Gleichung soll für alle komplexen Zahlen in C ermittelt werden.

|z+2|=3|z-6|

vielen Dank für eure Hilfe

Liebe Grüße

Answer 1

$$ |z+2|=3|z-6|  $$
$$ z=a+ib $$
$$ |z|=\sqrt{a^2+b^2} $$
$$ \sqrt{(a+2)^2+b^2}=3\sqrt{(a-6)^2+b^2}  $$
$$ \sqrt{(a^2+4a+4)+b^2}=3\sqrt{(a^2-12a+36)+b^2}  $$
$$ a^2+4a+4+b^2=9 \cdot (a^2-12a+36+b^2 )$$
$$ a^2+4a+4+b^2=9 a^2-108a+324+b^2 $$
$$ 4a+4+b^2=8 a^2-108a+324+b^2 $$
$$ 4+b^2=8 a^2-112a+324+b^2 $$
$$ b^2=8 a^2-112a+320+b^2 $$
$$ 0=8 a^2-112a+320 $$
$$ 0= a^2-14a+40 $$
$$ 0= a^2-14a+49-49+40 $$
$$ 0= (a-7)^2-9 $$
$$  (a-7)^2=9 $$
$$  a-7= \pm \sqrt9 $$
$$  a_{1,2}= 7 \pm 3 $$

Comments

Kreisgleichungen habe ich irgendwie anders in Erinnerung

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Wer sagt, dass es einen Kreis geben soll ?

Übrigens ist die Aufgabe nicht komplett fertiggerechnet - der Fragesteller darf auch noch was tun!

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was meinst du mit "soll" ?
Ein Paar paralleler Geraden ist jedenfalls kein Kreis. Und für  z = 4 + 287445973 i  sind die Beträge in der Aufgabenstellung links und rechts fast gleich und unterscheiden sich keineswegs um den Faktor 3.

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Du hast doch mit Kreisgleichung angefangen ... und jetzt erzählst Du was von Geraden.

Wenn Du der Meinung bist, ich hätte etwas übersehen, dann führe bitte genau aus, was Du meinst.

Wie bist Du eigentlich auf diesen Wert gekommen :  z = 4 + 287445973 i

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Fehler in Zeile 7 entdeckt - wird später berichtigt !

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$$ a^2+4a+4+b^2=9⋅(a^2−12a+36+b^2) $$
ab hier verbesserte Version
$$ a^2+4a+4+b^2=9⋅a^2−9⋅12a+9⋅36+9⋅b^2 $$
$$ 4a+4+b^2=8⋅a^2−9⋅12a+9⋅36+9⋅b^2 $$
$$ 4a+4=8⋅a^2−9⋅12a+9⋅36+8⋅b^2 $$
$$ a+1=2⋅a^2−9⋅3a+9⋅9+2⋅b^2 $$
$$ 1=2⋅a^2−28a+9⋅9+2⋅b^2 $$
$$ 0=2⋅a^2−28a+80+2⋅b^2 $$
$$ 0=a^2−14a+40+b^2 $$
$$ 0=a^2−14a+49-49+40+b^2 $$
$$ 0=(a−7)^2-9+b^2 $$
$$ 9=(a−7)^2+b^2 $$
$$ 9-(a−7)^2=b^2 $$
Jetzt isses doch noch eine runde Sache geworden !

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$$ z=7+3\cdot e^{i\phi }$$
$$\phi \in \{0\le \phi  \le 2\pi\}$$

Answer 2

Text erkannt:

Ein anderer Zugang:
\( |z+2|=3 \cdot|z-6| \)
\( \sqrt{(z+2)^{2}}=\left.3 \cdot \sqrt{(z-6)^{2}}\right|^{2} \)
\( (z+2)^{2}=9 \cdot(z-6)^{2} \)
\( (z+2)^{2}-9 \cdot(z-6)^{2}=0 \)
3. Binom
\( [(z+2)+3 \cdot(z-6)] \cdot[(z+2)-3 \cdot(z-6)]=0 \)
\( [z+2+3 \cdot z-18)] \cdot[z+2-3 \cdot z+18)]=0 \)
\( [4 z-16] \cdot[-2 z+20)]=0 \)
\( z_{1}=4 \)
\( z_{2}=10 \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets