Komplexe Zahlen + Betragsgleichung nach z auflösen: |z - 1| + z = 3 - i?

Question

Aufgabe:

Welche Komplexe Zahl z kommt hier als Lösung in Frage:

|z - 1| + z = 3 - i ?

Problem/Ansatz:

Wie muss man bei solchen Aufgaben vorgehen? Brauche ich hier eine Fallunterscheidung wie bei normalen Betragsgleichungen?

Für den Fall, dass |z - 1| >= 0 ist, bin ich so vorgegangen:

z - 1 + z = 3 - i

2z = 4 - i

z = 2 - \( \frac{1}{2} \) i

Die richtige Lösung ist aber wohl \( \frac{7}{4} \) - i

Kann mir jemand erklären wo mein Fehler ist?

Comments

Kann mir jemand erklären wo mein Fehler ist?

Dein Fehler liegt darin, dass man die 'Fallunterscheidung' \(z-1\ge0\) und \(z-1\lt0\) nur machen kann, wenn \(z \in \mathbb R\) - also \(z\) eine reelle Zahl ist. Aber das ist nicht der Fall. Dein Ergebnis \(z=2-i/2\) führt direkt zu einem Widerspruch.

Zeichne Dir das mal in der Gaußschen Ebene auf:

oben siehst Du die imaginären Zahlen \(3-i\), \(z\), \(z-1\) und \(|z-1|\). Die Zahl \(|z-1|\) hat keinen imaginären Anteil und befindet sich daher auf der horizontalen Achse. \(|z-1|\) hat aber den gleichen Abstand zum Ursprung \(O\) wie \(z-1\).

Die Addition von \(|z-1|\) (hellblauer Pfeil) und \(z\) (blauer Pfeil) ergibt \(3-i\).

Answer 1

Aloha :)

Zum Lösen der Gleichung$$\left|z-1\right|+z=3-i$$setzen wir \(z=x+iy\) mit \(x,y\in\mathbb R\) an:$$\left|(x-1)+iy\right|+x+iy=3-i$$Da der Betrag eine reelle Zahl ist, können wir sofort \(y=-1\) folgern, sodass:$$\left.\left|(x-1)-i\right|+x-i=3-i\quad\right|+i$$$$\left.\left|(x-1)-i\right|+x=3\quad\right|\text{Betrag umformen}\;|\;-x$$$$\left.\sqrt{(x-1)^2+(-1)^2}=3-x\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\left.x^2-2x+1+1=9-6x+x^2\quad\right|-x^2\;|\;+6x\;|\;-2$$$$\left.4x=7\quad\right|\colon4$$$$x=\frac74$$Damit haben wir als Ergebnis:$$z=\frac74-i$$

Comments

und was ist bei Deinem Beitrag anders ? :)

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\(y=-1\) wird direkt begründet und früher eingesetzt, dadurch ist die Rechnung kürzer.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Aber so ganz verstehe ich nicht was du gemacht hast.

Wie kommt man darauf für y = -1 einzusetzen?

Und warum wird quadriert bzw. wo kommt die Wurzel her?

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Der Betrag einer komplexen Zahl \(z=x+iy\) mit \(x,y\in\mathbb R\) lautet:$$|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}$$Daher ist hier der Betrag$$|(x-1)+iy|=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$$Der Betrag ist also eine reelle Zahl \(\ge0\). Wenn wir uns nun die Gleichung ansehen:$$|z-1|+z=3-i\quad\Longleftrightarrow\quad\underbrace{|(x-1)+iy|}_{\in\mathbb R}+\underbrace{x}_{\in\mathbb R}+\underbrace{iy}_{\in\mathbb C}=\underbrace{3}_{\in\mathbb R}\,\underbrace{-i}_{\in\mathbb C}$$können wir daraus eine Gleichung für den Realteil:$$|(x-1)+iy|+x=3$$und eine Gleichung für den Imaginärteil aufstellen$$iy=-i$$Aus der letzten Gleichung folgt sofort \(y=-1\).

Answer 2

Hallo,

|z - 1| + z = 3 - i

Setze z= x+iy

|x+iy  - 1| + x+iy  = 3 - i

|x- 1 +iy | + x+iy = 3 - i

√((x-1)^2 +y^2) + x+iy = 3 - i

Vergleich Realteil:√((x-1)^2 +y^2) + x = 3

Vergleich Realteil: y= -1

------->Ausrechnen:

√((x-1)^2 +y^2)) + x = 3

√((x-1)^2 +y^2)) = 3 -x |(..)^2

(x-1)^2 +y^2 =  9-6x +x^2

x^2 -2x +1 +y^2= 9-6x +x^2 |-x^2

-2x +1 +y^2 = 9-6x

y= -1 einsetzen

-2x +1 +1 = 9-6x

-2x +2  = 9-6x

-2x +2 -9 +6x=0

4x -7=0

4x=7

x=7/4

----------->

z= x+iy

z= 7/4 -i