Betragsgleichung richtig lösen, Definitionsmenge angeben

Question

Hallo!

Ich soll hier die Betragsgleichung lösen. Ich habe hier nur x=1/2 als Lösung, aber da sind zwei Lösungen, nämlich x=1/2 und x=-3. Ich kann mir nicht erklären, von wo die -3 kommt. Könnt ihr mir erklären, wie man auf -3 kommt?

Aufgabe:

\( |x-3|=|3 x+2|-1 \)

Problem/Ansatz:

3) \( |x-3|=|3 x+2|-1 \)
NS: \( x=3 \& x=-\frac{2}{3} \)
1.Fall:
\( \begin{array}{l} x \leqslant-\frac{2}{3} \Rightarrow\left[-\frac{2}{3}, \infty\right) \quad 2+3 \fallingdotseq 6-2+1 \\ -x+3=-3 x-2+1 \\ -x+3 x=-1-3 \\ 2 x=-4 \Leftrightarrow x=-2 \in \mathbb{D} \\ \text { 2. Fall: }-\frac{2}{3} \leqslant x<3 \Rightarrow D=\left[-\frac{2}{3}, 3\right) \\ -x+3=3 x+2-1 \\ -x-3 x=1-3 \\ -4 x=-2 \Longleftrightarrow x=\frac{1}{2} \in I D \\ \text { 3. Fall: } x \geqslant 3 \Rightarrow 1 D=[3, \infty) \\ x-3=3 x+2-1 \\ x-3 x=4 \\ -2 x=4 \Longleftrightarrow x=-2 \notin 11 \\ \end{array} \)
Probe: \( x=-2 \)
\( \begin{array}{l} |-2-3|=|-6+2|-1 \Leftrightarrow|-5|=|-4|-1 \\ 5 \neq 3 \\ x=2 \Rightarrow|2-3|=|6+2|-1 \Leftrightarrow 1 \neq 7 \\ x=3 \Rightarrow \quad \mathbb{L}=1/2\} \\ \end{array} \)

Answer 1

Deine Fallunterscheidung ist richtig.

Zur Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input?i=%7Cx-3%7C%3D+%7C3x%2B2%7C-1

Answer 2

1.Fall:\( \begin{array}{l} x \leqslant-\frac{2}{3} \Rightarrow\left[-\frac{2}{3}, \infty\right) \quad 2+3 \fallingdotseq 6-2+1 \\ -x+3=-3 x-2+1\end{array} \)

ist schon falsch, weil da am Ende nicht +1, sondern -1 stehen muss.

Außerdem geht das Intervall nicht von -2/3 bis unendlich, sondern von minus unendlich bis -2/3.

Comments

Achsoo, ich beim 1. Fall muss ich dann vom gesamten Ausdruck |4-x|-2 das Vorzeichen ändern, richtig? Ich hab nur den Ausdruck im Betrag, also nur vom 4-x das Vorzeichen geändert, aber ich muss - 2 auch noch berücksichtigen, richtig? Denn so komme ich auf die Lösung.

Answer 3

Weg über das Quadrieren:  

(Es müssen Proben gemacht werden, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung darstellt):

\( |x-3|=|3 x+2|-1    \)

\( \sqrt{(x-3)^2}= \sqrt{(3x+2)^2}-1 |^{2}   \)

\( (x-3)^2=(3x+2)^2-2*\sqrt{(3x+2)^2}+1  \)

\( 9x^2+12x+4-2*\sqrt{(3x+2)^2}+1=x^2-6x+9  \)

\( 8x^2+18x-2*\sqrt{(3x+2)^2}=4  \)

\( 4x^2+9x-2=\sqrt{(3x+2)^2}    |^{2} \)

\( (4x^2+9x-2)^2-(3x+2)^2=0   \)

\( [(4x^2+9x-2)+(3x+2)]*[(4x^2+9x-2)-(3x+2)]=0  \)

\( [4x^2+12x]*[4x^2+6x-4]=0  \)

I.)

\( [x^2+3x]=0  \)  → \( [x*(x+3)]=0  \)     \( x_1=0 \) ∨  \( x_2=-3 \)

Probe:

\( |0-3|=|2|-1    \) stimmt nicht

\( |-3-3|=|3 *(-3)+2|-1    \)→\( |-6|=|-9+2|-1    \) →\( 6=7-1    \)  stimmt

II.)

\( 4x^2+6x-4=0  \)    → \( x^2+\frac{3}{2}x=1  \)

\( (x+\frac{3}{4})^2=1+(\frac{3}{4})^2=\frac{25}{16} |\sqrt{~~} \)

1.)

\(  x+\frac{3}{4}=\frac{5}{4} | \)

\( x_3=\frac{1}{2}  \)

Probe:

\(  |\frac{1}{2}-3|=|3 *\frac{1}{2}+2|-1    \)→\(  |-2,5|=|3,5|-1    \) stimmt

2.)

\( x+\frac{3}{4}=-\frac{5}{4} | \)

\( x_4=-2 \)

Probe:

\( |-2-3|=|3 *(-2)+2|-1    \)→\( |-5|=|-6+2|-1    \)→\( 5=4-1    \) stimmt nicht

\( x=-3  ∨ x=\frac{1}{2}\)