Betragsgleichung lösen und Definitionsmenge angeben

Question

Hallo!

Ich soll hier die Betragsgleichung lösen. Das habe ich auch getan, aber ich erhalte nur eine Lösung und zwar x=-1, aber es gibt zwei Lösungen und zwar L={–7, -1}

Aufgabe:

\( |4-x|-2=|2 x+5| \)

Problem/Ansatz:

(1) \( |4-x|-2=|2 x+5| \)
Nulstellen: \( x=4 ; x-\frac{-5}{2} \)
1. Fall: \( x \leq-\frac{5}{2} \Rightarrow-(4-x) \&-(2 x+5) \)
\( \begin{array}{l} -4+x-2=-2 x-5 \\ x+2 x=-5+4+2 \\ 3 x=1 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3} \notin \mathbb{I}=\left[-\infty,-\frac{5}{2} ;\right. \end{array} \)
2. Fall: \( -\frac{5}{2} \leqslant x<4 \Rightarrow-(4-x) \&(2 x+5) \)
\( -4+x-2=2 x+5 \)
\( x-6=2 x+5 \)
\( -x=11 \Leftrightarrow x=-11 \)
3. Fall: \( x \geqslant 4 \Rightarrow(4-x) \&(2 x+5) \)
\( \begin{aligned} 4-x-2 & =2 x+5 \\ -x-2 x & =5-4+2 \\ -3 x & =3 \Rightarrow x=-1 \end{aligned} \)

Comments

Du solltest lernen, selbständig zu werden: Wenn Du weißt, dass Dir die Lösung-7 fehlt, muss beim 1. Fall ein Fehler aufgetreten sein. Setze in jeder Deiner Gleichungrn x=-7 ein und stelle fest, wo zum ersten Mal Deine Gleichung nicht erfüllt ist....

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Wo genau soll ich die -7 einsetzen?? Ich hab ja nur eine Gleichung.

Und der 1.Fall sollte ja so stimmen, was ist daran falsch?

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Du sagst doch, dass -7 eine Lösung ist. Da -7 kleiner als -5/2 ist, hätte sie im ersten Fall berechnet werden müssen. Hast Du aber nicht, also liegt da ein Fehler vor

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Ja, aber wie soll ich das berechnen? Als Ergebnis kommt ja x=1/3.

Wie kommt man auf x=-7?

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Okay, ich weiß wie man auf -7 kommt, aber dar ergibt keinen Sinn.

es muss ja folgendes gelten: -(4-x) und - (2x+5)

wenn ich aber (4-x) und -(2x+5) rechne, kommt -7 raus, aber das macht absolut keinen Sinn.

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es muss ja folgendes gelten: -(4-x) und - (2x+5)

Du musst Dich auch bemühen, vernünftig zu formulieren. Was Du da geschrieben hast, ist sinnlos.

Die zu lösende Gleichung ist

$$|4-x|-2=|2x+5|$$

Setzt man hier \(x=-7\) ein, erhält man \(9=9\). Also ist \(x=-7\) eine Lösung der Gleichung.

Im ersten Fall hast du umgeformt zu

$$-4+x-2=-2x-5$$

Setzt man hier \(x=-7\) ein, erhält man \(-13=9\), ein Widerspruch. Als ist \(x=-7\) keine Lösung der umgeformten Gleichung. Also sind beide Gleichungen nicht äquivalent. Du hast falsch umgeformt.

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Aber wie hätte ich denn wissen sollen, dass ausgerechnet x=-7 die Lösung ist?

Es gilt ja: x ≤ -5/2, dann müssen diese Beträge ja negativ sein. Warum ist |4-x| in dem Fall positiv? Ich dachte, dass das auch negativ wird, wenn man die Beträge wegmacht. Wenn man einen Zahlenstrahl zeichnet, dann sieht man, dass es einen Bereich gib, wo alle Werte negativ sind (1. Fall). Habe ich da einen Denkfehler?

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Aber wie hätte ich denn wissen sollen, dass ausgerechnet x=-7 die Lösung ist?

Ich habe diese Info von Dir nur benutzt, um zu zeigen, wie man Fehler bei Umformungen finden kann.

Warum ist |4-x| in dem Fall positiv?

Auch das ist eine merkwürdige Formulierung. Es ist immer \(|a|\geq0\). Du musst lernen, mathematische Begriffe zu verwenden. Etwa

$$|a|=a\text{  falls }a \geq 0 \qquad \text{ und } |a|=-a\text{  fals }a<0$$

Mit dieser Definition ist in Deinem ersten Fall ( \(x \leq -5/2\)) \(4-x \geq 0\), also \(|4-x|=4-x\)

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Aber wieso ist \(x \leq -5/2\)) \(4-x \geq 0\), also \(|4-x|=4-x\), das muss ja -1+x sein, oder nicht? Wenn man einen Zahlenstrahl zeichnet, dann wird's immer negativer. Also warum nicht 4-x < 0 ?? Ich muss ja dann sowohl 4-x ≥ 0 als auch 4-x < 0 berücksichtigen...

Answer 1

|4 - x| - 2 = |2·x + 5|

Nullstellen der Beträge

4 - x = 0 → x = 4
2·x + 5 = 0 → x = - 2.5

Daraus resultieren 3 Fälle

Fall 1: x ≤ - 2.5

(4 - x) - 2 = - (2·x + 5) → x = - 7

Fall 2: - 2.5 ≤ x ≤ 4

(4 - x) - 2 = (2·x + 5) → x = - 1

Fall 3: 4 ≤ x

- (4 - x) - 2 = (2·x + 5) → x = - 11 → Keine Lösung

Comments

Ja, aber warum 4-x ? Warum nicht -4+x?

Also warum nicht -(4-x) -2 =- (2x+5) ??

Denn es gilt ja: Fall 1: x ≤ - 2.5, dann muss doch alles negativ werden, wenn man die Beträge weglässt.

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Für x<4  ist der Wert im Betrag <0

Um ihn positiv zu machen, setzt an ein MINUS vor den Betrag.

vgl:

|-10| = - (-10) = 10

Beträge sind immer positiv.

100 Euro Schulden sind betragsmäßig gleich mit 100 Euro Guthaben.

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Für x<4  ist der Wert im Betrag <0

Für x<4 ist 4-x>0

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Alles klar, also dann muss ich IMMER beide Fälle betrachten, also 4-x ≥ 0 und 4-x < 0. richtig?