Leiten Sie Rekursionsformeln der Gestalt
\( a_{n} I_{n+2}(x)=f_{n}(x)+b_{n} I_{n}(x), n \in \mathbb{N}_{0} \)
für die folgenden unbestimmten Integrale her:
(a) \( I_{n}(x)=\int\left(1-x^{2}\right)^{\frac{n-1}{2}} d x \quad(|x|<1) \)
(b) \( I_{n}(x)=\int \tan ^{n}(x) d x \quad\left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right) \)
Geben Sie auch Stammfunktionen für spezielle Werte von \( n \) an, die es im Prinzip erlauben, mit Hilfe der Rekursionsformel \( I_{n}(x) \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) zu berechnen.
Hinweis: In Teil (a) führt partielle Integration zum Ziel, für Teil (b) beachte man \( \tan ^{\prime}(x)=1+\tan ^{2}(x) \) und verwende die Substitutionsregel.
