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Aufgabe a:

\( \begin{array}{l} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{n^{n+1}} \\ a_{n+1}=\frac{2^{n}}{(n+1)^{n+2}}=\frac{2^{n}}{(n+1)^{n} *(n+1)^{2}} ; \quad a_{n}=\frac{2^{n+1} \frac{1}{2}}{n^{n} * n} \end{array} \)

Quotientenkriterium, habe jetzt einfachshalber Betragsstriche weggelassen

\( \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n}}{(n+1)^{n+1}(n+1)^{2}} * \frac{2^{*} n^{n} * n}{2^{n}}=\ldots \)

Ab jetzt weiss ich nicht wie umformen, ich sehe lediglich dass sich die \( 2^n \) weggkürzt, was soll ich mit dem \( (n+1)^{n} \) tun?


Aufgabe b:

\( \begin{array}{l} \sum \limits_{n=l}^{\infty} \frac{(2 n)^{n}}{8 n^{2}} \\ a_{n+l}=\frac{(2(n+1))^{n+1}}{(8(n+1))^{2}}=\frac{(2 n+2)^{n+1}}{(8 n+8)^{2}}=\ldots \ldots ? \end{array} \)

Wie kann ich das jetzt weiter umformen?


Ich brauche Hilfe beim Anwenden des Quotientenkriteriums, habe da irgendwie, irgendwo einen Fehler den ich nicht sehe.

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1 Antwort

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Okay,da du nicht unbedingt das Quotientenkriterium brauchst:
Hier einmal der Anfang des Wurzelkriteriums:
$$\sqrt [ n ]{ \frac { { 2 }^{ n-1 } }{ { n }^{ n+1 } }  } =\sqrt [ n ]{ \frac { { 2 }^{ n }*{ 2 }^{ -1 } }{ { n }^{ n }*{ n } }  } =\frac { \sqrt [ n ]{ { 2 }^{ n } } \sqrt [ n ]{ { 2 }^{ -1 } }  }{ \sqrt [ n ]{ { n }^{ n } } \sqrt [ n ]{ n }  }  $$
Zieh die Wurzeln und betrachte lim sup für n gegen unendlich von dem was du dann raus hast.
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ich komm auf den Grenzwert 0 für n gegen unendlich, kann das stimmen?

Ja ,das ist richtig.
Und was folgt daraus?

da ja 0 kleiner als 1 ist, konvergiert die Reihe

Richtig. Das Wurzelkriterium kannst du bei b) auch sehr gut verwenden.

da bekomme ich den Term 2n/(8n^{2})^{1/n}, was ich sehr merkwürdig finde... oder habe ich was falsch gemacht?

Ja .  Lass n gegen unendlich laufen. Dann läuft der Zähler gegen ....

Und der Nenner läuft gegen .... ? (Tipp : n-te Wurzel ist sehr für stärker als n^2

Daraus folgt ... ?

Also der Zähler läuft gegen unendlich, und der Nenner läuft gegen 1 so....dann wäre der Grenzwert für n gegen unendlich, unendlich und damit divergent oder?

Danke auf jeden Fall für die bisherige Hilfe

Ja genau. So stimmts.

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