Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige, dass dann φ(G) eine Untergruppe von H ist.

Question

Aufgabe:

Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige, dass dann φ(G) eine Untergruppe

von H ist.

Ich komm da überhaupt nicht weiter ich weiß zwar die einzelnen Regeln für Gruppen, Untergruppen usw aba wie ich das Beispiel agehen soll nicht.

bitte um Hilfe.

Comments

Fällt auch jemandem zufällig ein Gegenbeispiel ein, dass die entsprechende Aussage für Normalteiler falsch ist?

Answer 1

Das Bild von φ,  also φ(G) ist ja auf jeden Fall eine Teilmenge von H.
Also brauchst du so was wie das assoziativgesetz gar nicht zu beweisen,
sondern musst nur zeigen, dass φ(G) abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung in H ist.,
also dass zu zwei Elementen von φ(G) auch deren Produkt wieder in H ist.

Seien also x und y aus φ(G).
Dann gibt es a aus G mit φ(a)=x und b aus G mit  φ(b)= y
Da G eine Gruppe ist, ist a*b auch aus G. Und es ist
φ(a*b)= φ(a)* φ(b)  weil es ein Hom. ist.
und es ist φ(a)* φ(b)=x*y
also ist x*y aus φ(G).