Das ist meine Lösung:
\( c_{1}=b^{2}-a^{2}+\left(c-c_{1}\right)^{2} \)
\( 0=b^{2}-a^{2}+c^{2}-2 c_{1} c+{c_{1}}^{2}-c_{1} \)
\( 0={c_{1}}^{2}-{c_{1}}(2 c+1)+b^{2}+c^{2}-a^{2} \)
\( \Rightarrow C_{1}=-\frac{2 c+1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2 c+1}{2}\right)^{2}+a^{2}-b^{2}-c^{2}} \)
\( \Rightarrow C_{1}=-\left(c+\frac{1}{2}\right) \pm \sqrt{\frac{1}{4}+a^{2}-b^{2}+c} \)
Du musst dir folgendes klar machen:
Wenn du deine Klammer ausmultiplizierst und alles auf eine Seite bringst, so hast du eine quadratische Gleichung, wie in der zweiten Zeile zu sehen. Nun formst du deinen Term so um, dass du in etwa die Form 0 = x² +px +q hast. Bei dir ist dein "x" das c1. Nun haben wir folgendes Problem: das c1 am Ende der zweiten Zeile dürfen wir nicht zum q packen, denn sonst hätten wir in der Diskriminante später ein c1, und genau dieses wollen wir ja isolieren. Somit formt man das so um, dass man dort erstmal stehen hat
0 = c1² -2c1c -c +b² +c² -a²
nun kann man c1 ausklammern, sodass da steht:
0 = c1² -c1(2c+1) +b²+c²-a².
Davon ausgehend gilt also: p = 2c+1; q = b²+c²-a².
Also haben wir bei Anwendung der pq-Formel (ich rechne die einzelnen Schritte vor):
c1 = -p/2 ±√((p/2)²-q)
= -((2c+1)/2) ±√(c²+c+1/2 -b²-c²+a²)
= -(c+0,5)±√(a²-b²+c²+0,25)
Ich hoffe, dass ich etwas helfen konnte und keinen Rechenfehler eingebaut habe.
