Überprüfung auf Stetigkeit (rationale und irrationale Punkte)

Question

ich bräuchte hilfe bei der Lösung folgender Aufgabe:

Sei ƒ ; (0, 1] → ℝ definiert durch:

ƒ(x) := { (1 / q) , falls x = (p / q) mit p, q ∈ ℕ teilerfremd
            {  0      , falls x ∉ ℚ

Untersuchen Sie ƒ in allen rationalen und allen irrationalen Punkten auf Stetigkeit.

Kann mir dabei jemand helfen?
Vielen dank schonmal

Comments

Erst mal der leichtere Fall:

In allen rationalen Punkten ist \(f\) unstetig. Das kannst du mit dem Folgenkriterium zeigen. Sei \(a\in\mathbb{Q}\). Definiere dir nun eine Folge \((x_n)\), deren Glieder allesamt irrational sind und welche gegen \(a\) konvergiert.

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Ich kann dir grade keinen richtigen Beweis geben, aber du findest zwischen jedem noch so kleinem |p/q-r/s | ein x₁  ∉ ℚ ,sodass gilt |p/q_n-x| <|p/q-r/s | .
Das sollte dir zumindest anschaulich zeigen,dass du immer wieder eine Zahl dazwischen hast die nicht rational ist, und somit der Graph auf 0 springt.

Ich glaube den richtigen Beweiß kann man mit Epsilon-Delta machen.