Die Kreise berühren sich in B. t ist gemeinsame Tangente. Berechnen Sie die Länge der Strecken und den Radius

Question

Aufgabe:

Die Kreise \( \mathrm{k}_{1} \) und \( \mathrm{k}_{2} \) berühren sich in \( B \). \( \mathrm{t} \) ist die gemeinsame Tangente der beiden Kreise.

\( \mathrm{r}_{1}=4.5 \mathrm{~cm}, \alpha=60^{\circ} \)

Berechnen Sie:

a) die Länge der Strecken \( \mathrm{M}_{1} \mathrm{O} \) und \( \mathrm{SO} \);

b) den Radius \( \mathrm{r}_{2} \) und die Länge der Strecke RS. (Runden Sie die Resultate auf mm.)

Comments

Hast du es schon mit den Strahlensätzen versucht?

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MOS ist ein halbes Gleichseitiges Dreieck.

Daher gilt | Bo O| = r1.

Gleiche Überlegung im kleinen Kreis.

==> | Bo O| = 3 r2

==> r1 = 3 r2 oder r2 = 1/3 * r1.

Answer 1

M1O = 9 cm und entspricht 2 * r1

BO = 4.5 cm
M2O = 3 cm und entspricht 2 * r2
r2 = 1.5 cm

SO = 7.79 cm
RS = 2/3 * 7.79 cm

Comments

Ich habe :

M1 - O = 9cm

S - O = 7.8cm

M1 - B = 4.5cm

und ich habe alle winkel Bei:

M2 : 60 und 120

O = 30

R = 2 mal 90

Aber wie bekomme ich R-S oder R-O oder R-M2 oder M2-O???

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Die Dreiecke
M1 / S / O
und
M2 / R / O
haben diegleichen Innenwinkel.

Beim Dreick M1 / S / O ist die Strecke
BO = M1/B/O - 4.5 = 4.5
M1/B/O = 2 * 4.5 = 2 * r1
B/M2/O = 4.5 = 3 * r2
r2 = 1.5 cm

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Die obere Skizze zeigt den großen Kreis.
Die untere Skizze den kleinen Kreis.

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Strahlensätze

r1 / SO = r2 /RO
4.5 / 7.8 = 1.5 / RO
RO = 2.6

SR = 7.8 - 2.6 = 5.2 cm

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woher kennst du r2?

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B - O ist 4.5 cm aber woher weisst du das es = 3 * r2 ist bzw. r2 = 1.5cm ist?

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Aus der Skizze ist zu ersehen dass

- wir einen großen Kreis und ein großes Dreieck haben.
Die Länge der gesamten Grundlinie ist : r1 + r1 + r1 = 4.5 + 4.5 + 4.5 = 13.5 cm

- wir einen kleinen Kreis und ein kleines Dreieck haben.
Die Länge der gesamten Grundline ist : r2 + r2 + r2 = 4.5 cm
3 * r2 = 4.5
r2 = 1.5

Das große Dreieck und das kleine Dreieck sind sich ähnlich
( Innenwinkel )
Das kleinere Dreieck ist allen Abmessungen 1/3 des großen Dreiecks.

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Woher weisst du das beim kleinen  Kreis   3 mal r2 hat?

Ich sehe nur 2 mal r2 und eine strecke die nicht definierbar ist.

Gibt es hier Irgend eine Regel bzw. Satz der das bestätigt/ Beweist?

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Ein letzter Versuch :

Für das große Dreieck gilt
cos ( alpha ) = r1 / M1O
cos ( 60 ) = 4.5 / M1O
M1O = 9 cm
Die undefinierte Strecke BO ist
BO = 9 cm - r1 = 9 cm - 4.5 cm = 4.5 cm
r1 = BO

Für das kleine Dreieck gilt entsprechend
r2 = k2O
( Wenn für das große Dreieck r1 = BO gilt dann gilt
für das kleine Dreieck r2 = k2O weil die Dreiecke
sich ähnlich sind ).