Funktionenschar fk mit fkx =x-k*e^x. Zeige: Hochpunkte liegen auf y = x-1

Question

Gegeben ist die Funktionenschar fk mit fkx =x-k*e^X

Zeige dass alle hochpunkte der schar fk auf der geraden mit der Gleichung y=x-1

Zeige dass alle a -8 alle k ungleich 0 die Fläche e endlich ist.

Answer 1

f ( x ) = x - k*e^X 
f ´( x ) = 1 - k * e^x

1 - k * e^x = 0
k * e^x = 1
e^x = 1/k
x = ln(1/k)
x = - ln(k)

f ( - ln ( k ) ) = - ln ( k ) - k * e^{-ln[k]}
f ( - ln ( k ) ) = - ln ( k ) - k * k^{-1}
f ( - ln ( k ) ) = - ln ( k ) - 1

E ( - ln ( k )  | - ln ( k ) - 1 )

x = - ln ( k )
y = - ln ( k ) - 1

ort  = x - 1

Zeige dass alle a -8 alle k ungleich 0 die Fläche e endlich ist.

Ich verstehe die Frage nicht.

Answer 2

Hochpunkte bestimmen mit
f_k' (x) = 0 gibt    1- k*e^x = 0 also x = - ln( k)  falls k>0. Sonst gibt es keine Hochpu.
f ( -ln(k) ) = -ln(k) - 1 also  H ( - ln( k)  / -ln(k) - 1 ).
Die Koordinaten in die Geradengleichung einsetzen: Passt, also alle Hp auf der Geraden.

Answer 3

Das Ding heißt Ortskurve; weiß ich aus Lycos.

y := x - k exp ( x )    ( 1 )

Ableiten

y ' = 1 - k exp ( x )   = 0  ( 2a )

exp ( x ) = 1/k   ( 2b )

( 2b ) einsetzen in (1 ) ===> Beh