Hier die ganze Fragestellung nochmal:
AUFGABE
Sei \( A \in K^{n \times n} . \) Zeigen Sie für einen Eigenwert \( \lambda \) von \( A \) :
a) Für \( k \in \mathbb{N} \) ist \( \lambda^{k} \) ein Eigenwert von \( A^{k} \)
b) Im Fall der Invertierbarkeit von \( A \) gilt \( \lambda \neq 0 \) und \( \lambda^{-1} \) ist ein Eigenwert von \( A^{-1} \)
Also für a weiß ich bereits das gilt: A*x=Lambda*x falls x der Eigenvektor der Matrix A ist und Lambda der Eigenwert. Wenn ich das überhaupt schon mal so sagen darf, wie gehe ich dann weiter vor? Könnte ich nun irgendwie so in etwa weiterarbeiten:
A*x=Lambda*x | Auf beiden Seiten mal A
A²*x=A*x*Lambda<=>A²*x=Lambda²*x und dann immer das x entfernen und so bemerken, dass das tatsächlich aufgeht?
Bei b kann man ja vielleicht auch mit der Gleichung arbeiten aber ich wüsste jetzt so nicht wie. Kann mir jemand sagen wie die Lösung lautet bzw. viel wichtiger den Weg dahin erklären?
