A hat genau einen Eigenwert und ist Diagonalisierbar->A ist k-faches der Einheitsmatrix

Question

Aufgabe:

Sei A∈K^n×n

Falls A genau einen Eigenwert hat und diagonalisierbar ist, dann ist A ein Vielfaches der n×n-Einheitsmatrix

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, zu zeigen, dass A eine Diagonalmatrix ist, was bereits aus der Aufgabenstellung ersichtlich ist. Danach zu zeigen, dass alle Einträge von A gleich sind, ist einfach (annehmen, dass ein anderer Eintrag existiert und dann zeigen, dass man dadurch einen weiteren Eigenwert erhält).

Bekannt für mich ist: Sei T∈Gl_n(K), dann ist B=T^-1AT eine Diagonalmatrix, wenn A diagonalisierbar ist. Also müsste ich doch zeigen, dass B=A bzw. T=E_n.

Answer 1

A ist diagonalisierbar und k einziger Eigenbwert, dann existiert

T∈Gln(K)  mit   k*E = T^-1*A*T

                        <=>  T*(k*E) = A*T

                     <=> k * T*E= A*T

                    <=> k * T= A*T

                     <=> (k*E) * T= A*T    | *T^(-1) von rechts

                  <=> k*E= A               q.e.d.