Gleichung der Gerade g in der das Kohleflöz endet. Ebenen schneiden.

Question

Hi Leute

Meine Aufgabe ist:

"Ein keilförmiges Kohleflöz hat nach oben und unten ebene Bergrenzungsflächen E und E' zu den angrenzenden Gesteinsschichten. Bei drei Probebohrungen werden jeweils der Eintrittspunkt und der Austrittspunkt festgestellt A(-20|30|-200), A'(-20|30|-236), B(120|180|-80), B'(120|180|-120), C(80|120|-120) C'(80|120|-160)"

b)Wie lautet die Gleichung der Gerade g, in der das Kohleflöz endet?

c) Vom Punkt T(-200|200|0) wird ein Tunnel in Richtung des Vektors (2,-2,-1) vorangetrieben. Wo trifft die Kohleschicht, wo verlässt er sie wieder, wie weit ist es vom Tunneleingang bis zu Kohleschicht?

d) Trifft eine senkrechte Bohrung , die im Punkt T(-100|450|0) beginnt die Kohleschicht?

Also a) habe ich selber gelöst aber ich hänge an b fest :-X Ich weiß nicht was ich machen muss... ich bekam den Tipp, dass ich die Parametergleichung von E´ aufstellen muss und die Koordinatengleichung von E und dann? Und vor allem wie macht man das? :-/  Habe dazu noch ein Bild

Comments

Schreibe so was besser als Kommentar - nicht als Antwort. Sonst meint man ja, die Frage sei beantwortet.

Du kannst da noch editieren/ umwandeln.

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Danke für den Tipp Hast du vielleicht eine Idee zu b) :-D

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zu b): Es wird die Schnittgerade der beiden Ebenen gesucht.

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Na ich habs jetzt so gemacht, dass ich beispielsweise geschrieben hatte:

g : x = -20 * 3 + 140r * 3 +100s *3 und das gleiche noch mit y und z und dann alles in eine gleichung geschrieben mit =1200. Ich hoffe mal das is richtig

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hi,
woher hast du aufgabe? würdest mir damit sehr helfen

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@disj: Der fragende Gast hat sich wieder abgemeldet und wird darum nicht mehr gefragt werden. Versuche am besten mal mit Google und anderen Suchmaschinen den Text wieder zu finden.

Übrigens https://www.mathelounge.de/400985/lagebeziehungen-keilformiges-kohle… (Scheinduplikat und / oder weitere Teilaufgaben ). Zumindest im Link leicht bessere Skizze. probe ist recht häufig aktiv, stellt aber Fragen manchmal nicht gemäss den Schreibregeln (wird versteckt und gelöscht) oder vergisst Klammern.

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Vom Duplikat:

Titel: Ein keilförmiges Kohleflöz

Stichworte: ebene,gerade,lagebeziehung,gleichungen

AUFGABE:

Ein keilförmiges Kohleflöz hat nach oben und unten ebene Bergrenzungsflächen E und E' zu den angrenzenden Gesteinsschichten. Bei drei Probebohrungen werden jeweils der Eintrittspunkt und der Austrittspunkt festgestellt A(-20|30|-200), A'(-20|30|-236), B(120|180|-80), B'(120|180|-120), C(80|120|-120) C'(80|120|-160)"

https://imgur.com/IimfbOK

a) Wie lauten die Glechungen der Begrenzungsebenen E und E´?
b)Wie lautet die Gleichung der Gerade g, in der das Kohleflöz endet?
c) Vom Punkt T(-200|200|0) wird ein Tunnel in Richtung des Vektors (2,-2,-1) vorangetrieben. Wo trifft die Kohleschicht, wo verlässt er sie wieder, wie weit ist es vom Tunneleingang bis zu Kohleschicht?
d) Trifft eine senkrechte Bohrung , die im Punkt T(-100|450|0) beginnt die Kohleschicht?

Kann mir jemand helfen?
Wenn möglich, möchte ich auch die Formeln zusammen mit den Schritten haben.

Ich habe A so gelöst:

E: x= a+r(b-a)+s(c-a)  und für E´ habe ich E': x'= a'+t(b'-a')+u(c'-a').

Jetzt kann ich nicht weiter kommen.

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https://www.mathelounge.de/suche?q=Kohlefl%C3%B6z#gsc.tab=0&gsc.q=Ko…

Answer 1

Ebene E (ABC)

E: X = [-20, 30, -200] + r·([120, 180, -80] - [-20, 30, -200]) + s·([80, 120, -120] - [-20, 30, -200])

E: X = [-20, 30, -200] + r·[140, 150, 120] + s·[100, 90, 80]

Ebene E' (A'B'C')

E': X = [-20, 30, -236] + t·([120, 180, -120] - [-20, 30, -236]) + u·([80, 120, -160] - [-20, 30, -236])

E': X = [-20, 30, -236] + t·[140, 150, 116] + u·[100, 90, 76]

Schittgerade E = E'

[-20, 30, -200] + r·[140, 150, 120] + s·[100, 90, 80] = [-20, 30, -236] + t·[140, 150, 116] + u·[100, 90, 76]

r = -u - 9 ∧ s = u ∧ t = -u - 9

g: [-20, 30, -236] + (-u - 9)·[140, 150, 116] + u·[100, 90, 76]

g: [-1280, -1320, -1280] + u·[-40, -60, -40]

Comments

wie kommst du auf r = -u - 9 ∧ s = u ∧ t = -u - 9 ?

das habe ich nicht kapiert

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Schreibe zur Vektorgleichung

[-20, 30, -200] + r·[140, 150, 120] + s·[100, 90, 80] = [-20, 30, -236] + t·[140, 150, 116] + u·[100, 90, 76]

das zugehörige lineare Gleichungssystem auf.

Du hast 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten welches du lösen solltest. Probiere das mal. Ich habe es in Abhängigkeit von u gelöst.

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Hi @Der_Mathecoach,

wie würdest du in der Aufgabe d lösen. Mir fehlt da gerade der Ansatz.

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[-20, 30, -200] + r·[140, 150, 120] + s·[100, 90, 80] = [-100, 450, z] --> z = -100

[-20, 30, -236] + t·[140, 150, 116] + u·[100, 90, 76] = [-100, 450, z] --> z = -100

Damit trifft man gerade das keilförmige Ende der Schicht. Also dort wo die Schicht gerade eine Höhe von 0 hat.

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Vielen Dank!!!

Bei C habe ich die Ergebnisse:

Wo trifft der Tunnel die Schicht = S(150; -150; -175)

Wo verlässt er sie wieder =S(280; -280; 240)

Entfernung = 525 LE

Ist dies richtig?

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Du hast nur ein Vorzeichenfehler gemacht. Der sollte aber offensichtlich sein.

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@Der_Mathecoach

Ich habe ein Foto reingestellt, weiß aber nicht wo mein Fehler ist.

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Text erkannt:

$g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-200 \\ 200 \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ -1\end{array}\right) ; E: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-20 \\ 30 \\ -200\end{array}\right)+\left(\cdot\left(\begin{array}{c}140 \\ 150 \\ 120\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}100 \\ 90 \\ 80\end{array}\right)\right.$
$\left(\begin{array}{c}140 \\ 150 \\ 120\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}100 \\ 90 \\ 80\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1200 \\ 800 \\ -2400\end{array}\right)$
$(x+20) \cdot 1200+(y-30) \cdot 800+(2+200) \cdot(-2400)$
$1200 x+24000+800 y \cdot 24000 \cdot 2400 z \cdot 480000=0$
$1200 x+800 y-2400 z=480000$
$1.5 x+y \cdot 3 z=600$
$x=-200+2 t$
$y=200-2 t$
$-300+3 t+200 \cdot 2 t \cdot 3 \cdot(t)=600$
$3 t-2 t+3 t=700$
$4+=700$
$t=175$
$S(1501 \cdot 1501 \cdot 175)$

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Ich weiß @Herr_Mathecoach, dass ich bestimmt nerve, jedoch würde ich gerne wissen, wo mein Fehler liegt

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Der Fehler ist in dieser Zeile

Wo verlässt er sie wieder =S(280; -280; 240)

Wie gesagt. Ich habe bereits gesagt, dass es ein offensichtlicher Vorzeichenfehler ist.

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Achso, der Schnittpunkt ist S(280;-280;-240)

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Achso, der Schnittpunkt ist S(280;-280;-240)

Genau. Eine z-Koordinate > 0 bedeutet wohl Richtung Himmel. Für eine Kohleschicht eher unüblich. Aber naja. Das ist sogar schon einem Lehrer in einer Abiaufgabe passiert.

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Vielen Dank!

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Könnt ihr mir genauer erklären, wie ihr c gelöst habt, weil ich komme da überhaupt nicht klar.

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Ich habe die Rechnung auf dem Foto einigermaßen verstanden, aber was mich verwirrt hat, warum man nach der Berechnung des Kreuzproduktes in den Klammern das entgegengesetzte Vorzeichen des Stützvektors nimmt, also warum (x+20) × 1200.... und nicht (x-20)×1200...?

Ich habe es nämlich so gemacht und komme dann am Ende auf S(-450/450/125). Könnt ihr mir das erklären?

Und wie rechne ich danach weiter, also wo der Tunnel die Kohleschicht verlässt und die Entfernung??

Danke schonmal

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Meine Frage bezieht sich nur zur d)


Problem/Ansatz: Aufgabe d) Trifft eine senkrechte Bohrung, die im Punkt T(-100/450/0) beginnt, die Kohleschicht?

Ansatz: Geradengleichchung erstellen mit Punkt T(-100/450/0) und einen Richtungsvektor der Orthogonal zum Normalvektor der Ebene E ist und überprüfen auf die Senkrechte Gerade die Ebene trifft.

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Geradengleichchung erstellen mit Punkt T(-100/450/0) und einen Richtungsvektor der Orthogonal zum Normalvektor der Ebene E ist und überprüfen auf die Senkrechte Gerade die Ebene trifft.

Ansatz ist verkehrt.

Orthogonal zum Normalenvektor bedeutet parallel zur Ebene. Dann kann die Ebene eh nicht getroffen werden.

Senkrechte Bohrung bedeutet auch hier senkrecht zum Erdboden und nicht senkrecht zur Kohleschicht.

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Hi @Der_Mathecoach,

wie wurde bei c der S(280; -280; -240) berechnet. Das verstehe ich noch nicht so ganz

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Gerade und Ebene gleichsetzen

[-20, 30, -236] + r·[140, 150, 116] + s·[100, 90, 76] = [-200, 200, 0] + t·[2, -2, -1] --> r = - 145/6 ∧ s = 221/6 ∧ t = 240

Jetzt t = 240 in die Gerade einsetzen

[-200, 200, 0] + 240·[2, -2, -1] = [280, -280, -240]

Answer 2

Vielleicht hilft es, wenn man die Ergebnisse und die grafische Ansicht auch vor Augen hat?

Text erkannt:

$\mathrm{b}: \mathrm{X}=(-100,450,0)+\lambda(0,0,1)$
$\mathrm{g}: \mathrm{X}=(0,600,0)+\lambda(1,1.5,1)$
$\mathrm{h}: \mathrm{X}=(-200,200,0)+\lambda(2,-2,-1)$
Plane
$\mathrm{E}: 3 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-6 \mathrm{z}=1200$
$\mathrm{E}^{\prime}: 2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-5 \mathrm{z}=1200$
$\mathrm{Point}$
$\mathrm{A}=(-20,30,-200)$
$\mathrm{A}^{\prime}=(-20,30,-236)$
$\mathrm{B}=(120,180,-80)$
$\mathrm{B}^{\prime}=(120,180,-120)$
$\mathrm{C}=(80,120,-120)$
$\mathrm{C}^{\prime}=(80,120,-160)$
$\mathrm{T}_{\mathrm{E}}=(150,-150,-175)$
$\mathrm{T}_{\mathrm{c}}=(-200,200,0)$
$\mathrm{T}_{\mathrm{d}}=(-100,450,0)$
$\mathrm{T}_{\mathrm{BE}^{\prime}}=(-100,450,-100)$
$\mathrm{T}_{\mathrm{BE}}=(-100,450,-100)$
$\mathrm{T}_{\mathrm{E}^{\prime}}=(280,-280,-240)$

Comments

Ehrlicher weise nicht wichtig, die Darstellung von Ebenen verwirrt mich eher, trotzdem danke