Lineare Algebra. Ebenen: "zwei Punkte der Schnittgeraden g ohne Schwierigkeiten berechnen"

Question

ich büffel gerade lineare Algebra und habe ein Problem ein Beispiel im Heft zu verstehen.

Ich soll testen ob sich die Ebenen schneiden, lineare (un-)abhängigkeit und so weiter... Ich hoffe Ihr wisst was ich meine ^^

Gegeben sind die beiden Ebenen:

E₁: x = (1 | 3 | 1) + r* (2 | 2 | 1) + s* (1 | 4 | 2)  

E₂: x = (1 | 2 | 1) + u* (2 | 1 | 1) + v* (1 | 3 | 2)  

Sowohl beim ersten Test bestätigt sich lineare unabhängigkeit ( also 0 0 X ) als auch beim zweiten Test.

Nun steht hier im Buch: "In diesem Fall kann man zwei Punkte der Schnittgeraden g ohne Schwierigkeiten berechnen."

Wie ist das zu verstehen? Aus welchen Punkten kann ich nun die Schnittgerade bestimmen?

Wäre klasse, wenn mir wer helfen könnte!

Answer 1

Schnittpunkte der Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen sind in der Regel einfach zu ermitteln. Setze dazu jeweils eine Komponente gleich 0. 

 
Wenn du nun aber die Richtung der Schnittgeraden schon durch Kreuzprodukte bestimmt hast, genügt auch ein solcher Punkt. 

 
Hier kannst du aber im Kopf schon sehen, dass r=-1, s=0  und u=-1 , v=0 einen gemeinsamen Punkt gibt.

 Ebenso r = 0, s=-1 und u=0, v=-1.

Konkret:

E₁: x = (1 | 3 | 1) + r* (2 | 2 | 1) + s* (1 | 4 | 2)   

E₂: x = (1 | 2 | 1) + u* (2 | 1 | 1) + v* (1 | 3 | 2)   

Erster Punkt P(-1, 1, 0) Zweiter Punkt Q(0,-1,-1)