Analytische Geometrie: Untersuchung einer Ebenenschar E: (a - 1)·x + (4 - 2·a)·y + z = a + 1

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Ebenenschar    E: (a - 1)x + (4 - 2a)y + z = a + 1

a) Gehört die Ebene F:4x - 4y +2z = 8 zur Schar E?

b) Welche Ebene der Schar enthält den Koordinatenursprung?

c)Welche Ebene der Schar E sind parallel zu einer Koordinatenachse?

d) Zu Welcher Ebene der Schar E verläuft die Gerade g : x = (1/2/0) + r(1/1/1) parallel?

e) Welche Ebene der Schar ist orthogonal zur Ursprungsgerade h : x = r (-4/4/-2) ?

Ansatz/Problem:

Also bei a weiß ich, dass ich F und E gleichsetzen muss oder? Aber wie macht man das richtig? Und bei den rest ehrlich gesagt keine Ahnung... Vielleicht bei b mit 0 gleichsetzen oder so?

Answer 1

a) Gehört die Ebene F:4x - 4y +2z = 8 zur Schar E?

(a - 1)·x + (4 - 2·a)·y + z = a + 1
(3 - 1)·x + (4 - 2·3)·y + z = 3 + 1
2·x - 2·y + z = 4
4·x - 4·y + 2·z = 8 --> Ja. Die Ebene gehört dazu.

b) Welche Ebene der Schar enthält den Koordinatenursprung?

(a - 1)·x + (4 - 2·a)·y + z = a + 1
(a - 1)·0 + (4 - 2·a)·0 + 0 = a + 1
a = -1

c) Welche Ebenen der Schar E sind parallel zu einer Koordinatenachse? 

(a - 1)·x + (4 - 2·a)·y + z = a + 1

a = 1 ist parallel zur x-Achse
a = 2 ist parallel zur y-Achse

d) Zu Welcher Ebene der Schar E verläuft die Gerade g : x = (1/2/0) + r(1/1/1) parallel?

[a - 1, 4 - 2·a, 1]·[1, 1, 1] = 0
4 - a = 0
a = 4

e) Welche Ebene der Schar ist orthogonal zur Ursprungsgerade h : x = r (-4/4/-2) ?

[a - 1, 4 - 2·a, 1] = k·[-4, 4, -2]
a = 3 ∧ k = - 1/2

Comments

Hallo, keine Ahnung ob man sieht ob ich kommentiere, hoffentlich

Die Frage ist ja schon ein bisschen alt

Bei der Aufgabe a, wie kommst du an die 3=a, also was hast du berechnet um das rauszubekommen?

LG

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Erst einmal kann man die Gleichung \(F\) durch 2 teilen und dann muss man nur noch einen Koeffizientenvergleich machen, also \(a-1=2\), \(4-2a=-2\) usw. Da muss dann überall dasselbe \(a\) herauskommen. Er hat es ja eigentlich schön untereinander geschrieben.

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Okay Dankeschön, sorry, konnte ich mir irgendwie nicht erschließen

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Ist ja auch nicht verwunderlich bei unkommentierten Lösungen. ;)

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Gehört die Ebene F:4x - 4y +2z = 8 zur Schar E?

Aber es sollte klar sein, dass der Weg ist a so zu wählen, dass die Ebene F dabei herauskommt oder ist das nicht klar?

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Ja ist klar, aber mir kam nicht in der Sinn woher ich mir jetzt das a hole, also was für eine Zahl für a