Untersuchung an der Ebenenschar E : 2x + 2y +z = 2a +4

Question

also habe jetzt 1 Woche in der Schule gefehlt und schon verstehe ich mein Mathezeug nicht mehr :-/

"Gegeben sei weiterhin die Ebenenschar E : 2x + 2y +z = 2a +4"

a) Welche Ebene der Schar enthält den Punkt P (2/2/1)?

Welche Ebene der Schar enthält den Punkt A ( a/ 2a / -a ) ?

b) Geben Sie zwei Ursprungsebenen anm die zueinander und zu allen Ebenen der Schar E orthogonal sind"

Also bei a nehme ich mal an, dass man die Punkte 2/2/1 für x/y/z einsetzen muss oder? Dann bekomme ich a raus und dann? SOnst habe ich ehrlich nicht viel Ahnung :-/

Answer 1

"Gegeben sei weiterhin die Ebenenschar E : 2x + 2y +z = 2a +4"

a) Welche Ebene der Schar enthält den Punkt P (2/2/1)?

Welche Ebene der Schar enthält den Punkt A ( a/ 2a / -a ) ?

Deine Idee ist richtig. Mach das!

b) Geben Sie zwei Ursprungsebenen anm die zueinander und zu allen Ebenen der Schar E orthogonal sind"

Normalenvektor der Ebenenschar ablesen: n = (2,2,1).

Nun 2 Vektoren nehmen, die senkrecht auf n stehen. u = (1, - 1, 0) und v = (0, 1, -2). Kontrolle: Skalarprodukt u*n = 0 und v*n = 0.

Dann dazu Ebenen angeben so dass sie durch den Ursprung gehen.

E_(u): x - y = 0

E_(v): y - 2z = 0

Comments

Achtung: Meine beiden Ebenen sind nur zu E orthogonal nicht untereinander.

Den 2. Normalenvektor solltest du besser als

w= u x n berechnen

w = (-1, -1, 4)  man kann noch alle Vorzeichen drehen.

E_(w): x + y - 4z = 0

E_(v) lässt du dann besser weg.

Answer 2

Für a) setzt du einfach die drei Koordinaten des Punktes jeweils für
x, y und z ein. Dann hast du eine Gleichung, aus der du das a ausrechnen kannst.

Die Ebenen der Schar haben alle den Normalenvektor (2 / 2 / 1 )
Die gesuchten Ebenen müssen also Normalenvektoren haben, die zu diesem
orthogonal sind, also mit ihm das Skalarprodukt Null bilden,
z.B.   (-1 / 0 / 2) wäre einer.
Der andere soll nun auch mit .   (-1 / 0 / 2) das Skalarprodukt 0 haben.
Dann nimmst du am besten sowas wie  ( a / b / c) und schreibst dir beide Skalarprodukte hin
2a+2b+c = 0    und   -a +2c = 0  also  a = 2c in 1. Gl. einsetzen gibt
4c + 2b +c = 0  also b = -2,5c wähle dann c=1 und b = -2,5 und a=2 (wegen a=2c)
und du hast ( 2  /  -2,5  /  1). 
Also sind die gesuchten Ebenen
-x + 0y + 2z = 0 und
2x -2,5y + 1z = 0
es gibt aber auch viele andere Möglichkeiten.