Ebenenschar orthogonal zu Gerade?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Gerade g:x = (2/-1/-2)+ r(4/2/-1) und die Ebenenschar durch Ea: 2ax₁+ax₂-4x₃=a (a ∈ ℝ).

Untersuchen Sie, ob es eine Ebene der Schar gibt, die orthogonal zu g ist.

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht ganz weiter. Mein Ansatz war, den Normalenvektor der Ebene mit dem Richtungsvektor der Gerade skalar zu multiplizieren.

also: n= (2a/a/-4) und u= (4/2/-1).

Bei dem Skalarprodukt ergibt sich für mich 10a+4. 10a+4=0. Das heißt für a=-2/5 ist diese Ebene der Schar zu g orthogonal. Stimmt das?

Answer 1

Kann die Normale der Ebene \( \begin{pmatrix} 2a\\a\\-4 \end{pmatrix} \) parallel zur Richtung der Geraden \( \begin{pmatrix} 4\\2\\-1 \end{pmatrix} \) sein?

Comments

@ThothoBotho22: mache Dir ein Bild:

(klick drauf)

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Nein. Geht nicht. Was heißt es dann?

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Ist meine Lösung richtig?

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Nein. Geht nicht.

doch geht! probiere mal \(a=8\) und klicke auf das Bild oben.

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Ist meine Lösung richtig?

'Deine Lösung' ist die lilane Ebene in dem Bild oben. Steht diese Ebene orthogonal zu \(g\)?

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Ja für a=8 geht es. Aber ich habe a=-0,4. Stimmt das?

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Ok, meine Lösung ist also falsch. Das habe ich verstanden.Wie komme ich jetzt aber rechnerisch auf die 8? Wo war mein Rechenfehler?

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Wo war mein Rechenfehler?

Das war kein Rechenfehler, sondern ein Denkfehler.

Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht - also orthogonal - zu der Ebene. Wenn das Produkt aus dem Normalenvektor und einem anderen Vektor zu 0 wird, so stehen diese beiden Vektoren orthogonal zu einander. Also liegt dieser zweite Vektor parallel zur Ebene.

Deine Rechnung liefert also eine Ebene, die parallel zu \(g\) liegt. Und wenn Du Dir das Bild anschaust, so gibt das Sinn.

Gesucht ist aber eine Ebene, die orthogonal zu \(g\) steht. Also müssen Richtungsvektor \(\vec r\) von \(g\) und Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene kollinear (parallel) zu einander stehen. bzw. in Formeln:$$\vec r = \lambda \vec n \quad \lambda \in \mathbb R$$

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Wie kommt man rechnerisch auf a=8?

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Wie kommt man rechnerisch auf a=8?

$$\vec r = \begin{pmatrix}4\\ 2\\ -1\end{pmatrix}, \quad \vec n = \begin{pmatrix}2a\\ a\\ -4\end{pmatrix}$$\(\vec n\) soll in Richtung von \(\vec r\) zeigen (parallel liegen). Demnach muss \(\vec r = \lambda \vec n\) gelten:$$\begin{aligned} 4 &= \lambda \cdot 2a \\ 2 &= \lambda \cdot a\\ -1 &= \lambda \cdot (-4)\end{aligned}$$aus der dritten Koordinatengleichung folgt \(\lambda = \frac14\). Suche nun einen Wert für \(a\), der mit diesem \(\lambda\) die ersten beiden(!) Gleichungen erfüllt.

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Habe ich das richtig verstanden? Damit eine Ebene orthogonal zu einer Gerade ist, müssen Normalenvektor und Richtungsvektor Vielfache voneinander sein?

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Damit eine Ebene orthogonal zu einer Gerade ist, müssen Normalenvektor und Richtungsvektor Vielfache voneinander sein?

Genau ... und das sollte doch völlig klar sein, wenn man sich das ganze mal räumlich vorstellt. Ich kann es nicht oft genug schreiben:

Klick oben auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus, so dass Du eine räumlichen Eindruck bekommst. So sollte das ganz klar werden! Ich habe das Bild um zwei Vektoren erweitert.

Der grüne Vektor \(\vec n_{a=8}\) steht senkrecht auf der grünen Ebene und läuft parallel zu der Geraden \(g\).