Lage von Ebenen. Gerade orthogonal zu Ebene? - total verwirrt.

Question

Ich habe gestern dies bzgl eine Frage gestellt und auch verstanden: Liegen Gerade und Ebene orthogonal zueinander, so ist der Richtungsvektor ein vielfaches oder gleich dem normalenvektor. Liegen Gerade und Ebene parallel zueinander, so ist das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und einem Spannvektor gleich null. Nun habe ich eine Aufgabe vor mir liegen, in der ich überprüfen soll,ob eine Gerade und eine Ebene orthogonal zueinander liegen. Die Ebene ist in Parameterform angegeben. Was ist der nächste Schritt? Muss ich aus den Spannvektoren das Kreuzprodukt bilden, damit ich den Normalenvektor bilden kann? Und dann, wie oben beschrieben, auf Vielfaches prüfen? Bin jetzt komplett verwirrt. 

Answer 1

überprüfen soll,ob eine Gerade und eine Ebene orthogonal zueinander liegen. Die Ebene ist in Parameterform angegeben. Was ist der nächste Schritt? Muss ich aus den Spannvektoren das Kreuzprodukt bilden, damit ich den Normalenvektor bilden kann? Und dann, wie oben beschrieben, auf Vielfaches prüfen?

Das kannst du so machen. 

Ich denke aber es ist erheblich schneller, wenn man den Richtungsvektor (nennst du anscheinend Spannvektor) der Geraden skalar erst mit dem einen und dann mit dem andern Richtungsvektor der Ebenen multilpiziert. Nur wenn da 2 mal 0 rauskommt, steht die Gerade senkrecht auf der Ebene. 

Answer 2

Ja.

Du bildest das Kreuzprodukt beider Spannvektoren der Ebene, also den Normalenvektor.

Bei Orthogonalität von Gerade und Ebene muss ja der Richtungsvektor der Gerade ein Vielfaches des Normalenvektors sein, so wie du es selbst gesagt hast. Ist das nicht der Fall, so sind Ebene und Gerade nicht orthogonal.

Answer 3

Ja genau. Am einfachsten prüft man Ebenen mit dem Normalenvektor. Also ich würde als nächstes über das Kreuzprodukt den Normalenvektor ausrechnen.

Answer 4

Muss ich aus den Spannvektoren das Kreuzprodukt bilden, damit ich den Normalenvektor bilden kann? Und dann, wie oben beschrieben, auf Vielfaches prüfen?

Genau das musst du tun  (Klingt gar nicht so "verwirrt" :-))

Gruß Wolfgang