Frage zum logistischem Wachstum

Question

Kann mir jemand mit der folgenden Matheaufgabe etwas helfen ?

Aufgabe:

In einer Stadt mit 3.100 Menschen wird ein Gerücht in Umlauf gebracht. Zu beginn bringen dieses Gerücht 10 Menschen in Umlauf. Nach einem Tag wissen es bereits 19 Einwohner. Bei einer Ausbreitung des Gerüchtes wird einem logistischen Wachstum ausgegangen.

a) Ermitteln sie die Funktiosgleichung, die diesen Wachstumsvorgang beschreibt. Runden Sie den wert des Parameters k auf vier Stellen nach dem Komma.

b) Berechnen Sie, nach wie vielen Tagen mehr als 50 % des Dorfes darüber Bescheid weiß.



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Die allgemeine Form einer Funktion mit logistischem Wachstum lautet ja:

f(x) = g / 1 + ( g / f(0) - 1) * e ^{kgx}


Jetzt ist g ja die obere Grenze => 3.100

f(x) = 3.100 / 1 + ( 3.100  / f(0) - 1) * e ^{k3.100x}

f(0) ist dann 10, weil es zu beginn 10 Menschen waren, die dieses Gerücht in Umlauf brachten

f(x) = 3.100 / 1 + ( 3.100  / 10 - 1) * e ^{k3.100x}

f(x) = 3.100 / 1 + 300 * e ^{k3.100x}

Aus dem Teil: "Nach einem Tag wissen es bereits 19 Einwohner", erschließe ich den Punkte  (19 / 1)

den eingesetzt:

1 =  3.100 / 1 + 300 e ^{k3.100 * 19}

An dieser Stelle komm ich nicht weiter und dort  hat sich wahrscheinlich auch schon ein Fehler eingeschlichen... Würde mich freuen, wenn jemand helfen könnte.

Answer 1

soweit alles okay, ich hab keinen Fehler gefunden.

Sicherheitshalber ist es besser, dei Klammer hinzuschreiben (sonst ist nicht klar, was alles im Nenner steht):
1 =  3.100 / (1 + 300 e ^{k3.100 * 19})

Und dann: lösen! (zuerst 3100*9 berechnen, auf beiden Seiten den Kehrwert nehmen, dann *3100 nehmen und dann 1 subtrahieren, nun endlich durch 300 teilen und dann ln (Logarithmus zur Basis e), schließlich durch 3100*19 teilen.

Das kriegst du hin.

Wenn du mehr zu logistischen Wachstum wissen willst:

www.mathebaustelle.de/analysis/checklist_exp_beschr_logistisches_wachstum.pdf