Differentialgleichung zweiter Ordnung berechnen und mehr noch. y'' + 6y' + 9y = 3e^{-2t} + 9sin(t) - 8cos(t).

Question

Ich habe hier eine Differentialgleichung 2. Ordnung:

\( y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=3 e^{-2 t}+9 \sin (t)-8 \cos (t) \)

Ansatz/Problem:

Ich brauche eure Ideen:

a) Wie entwickelt sich die Lösung dieses AWP?

b) Die Skizze zeigen die Lösungen zu bestimmten Anfangswerte(t=0). Welche qualitative Aussage kann über die Anfangswerte gemacht werden?

Answer 1

Hallo,

\( y^{\prime \prime}(t)+6 y^{\prime}(t)+9 y(t)=3 e^{-2 t}+9 \sin (t)-8 \cos (t) \)

k^2 +6k +9=0

k1,2= -3 (doppelte Lösung)

y_h= C₁ e^(-3t) +C₂ e^(-3t) *t

y_p= A e^(-2x) +B sin(t) +C cos(t)

\( y_{p}(t)=3 e^{-2 t}-\frac{59 \cos (t)}{50}+\frac{6 \sin (t)}{25} \)

y=y_h+y_p