Inhomogenen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Question

Aufgabe:

Dgl:

2y''-8y'+8y=3e^x+6xe^(2x), y(0)=1, y'(0)=1

y′′− 2y′− 3y = −3x2− 4x + 2 + 10 sin(x) , y(0) = 1 und y′(0) = 2

Bestimmen Sie die partikulären Lösungen zu den gegebenen Anfangsbedingungen.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist wie folgt, dass ich bei den Störfunktionen nicht weiter komme.

Ich verstehe nicht was und wie ich dort die Lösungsansätz machen soll.

Kann mir bitte einer helfen ?

Answer 1

Hallo,

2y''-8y'+8y=3e^x+6xe^(2x), y(0)=1, y'(0)=1

Charakt. Gleichung:

2 k^2-8k+8=0

k_1,2= 2

----->y_h =C₁ e^(2x) +C₂ x e^(2x)

Die Basis für die part. Lösung ist diese Tabelle:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

(2. Seite, 1.Tabelle)

Du mußt schauen, ob Resonanz vorliegt. (Tabelle zur Berechnung von yp , 2. Seite)

Man spricht von  Resonanz, wenn die aus der Störfunktion abzulesende Zahl
eine Nullstelle des charakt. Polynoms ist.

Du ermittelst den Ansatz summandweise:

A    3 e^x         : y_p1= A e^x

B)    6xe^(2x)  ; y_p2= x^2(B e^(2x) +C x e^(2x))

yp=yp₁ +yp₂

weiterer Weg :

y_p  2 Mal ableiten , Koeffizientenvergleich

y =y_h +y_p

AWB einsetzen

------------------------------------------------------------------------------------------------

y′′− 2y′− 3y = −3x2− 4x + 2 + 10 sin(x) 

y_h=C₁ e^(-x) +C₂e^(3x)

y_p1= A+ Bx+Cx^2

y_p2= D cos(x) +E sin(x)

y_p= yp₁ +yp₂

Comments

Vielen Dank für die Hilfe Grosserloewe.

Ich hätte eine Frage zu B) wie kommt man auf yp2= x^2(be^(2x)+Cxe^(2x)) ?

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6 x e^2x mußt Du auch nochmal getrennt betrachten, einmal für x und dann für e^(2x)

laut Tabelle und dann Beides multiplizieren.

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Letzte Frage was kommt bei 2y''-8y'+8y=3ex+6xe^(2x), y(0)=1, y'(0)=1 raus?

Ich habe da yspez= -1/2*e^(2x)+3/2e^x+1/2x*e^(2x) ??

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Lösung kannst Du damit überprüfen:

ich habe für yp erhalten:

yp= (1/2)  * e^(2x) x^3 +(3ex)/8 +(3e)/8

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2y%27%27-8y%27%2B8y%3D3ex%2B6xe%5E%282x%29%2C+y%280%29%3D1%2C+y%27%280%29%3D1