Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Question

Hallo an alle!

Ich habe Differentialgleichungen nicht so ganz verstanden, deshalb kann ich folgende Aufgabe nicht lösen. Ich würde mich freuen, wenn jemand mir ein Tipp gäbe

a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems:

x′=x−3y

y′=−2x+ 2y

und lösen Sie das Anfangswertproblem x(0) = 2, y(0) = 3.

b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems

y(t)'= \( \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \) y(t)

Comments

Hallo,

grundsätzlich kann man dieses System lösen

- indem man es in eine gewöhnliche Dgl umformt

- indem man mit Eigenwerten und Eigenvektoren eine Darstellung von exp(tA) gewinnt oder ein Fundamentailsystem bestimmt.

Was sollt Ihr tun?

Gruß Mahthilf

Answer 1

Hallo,

1.Bestimmen der Eigenwerte:

det(A-λE) = \( \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \) =0

\( \begin{pmatrix} 1-λ & -3 \\ -2 & 2- λ\end{pmatrix} \)=0

(1-λ)(2-λ) -6=0

λ1= 4

λ2=-1

2. Bestimmen der Eigenvektoren:

\( v_{1}=(-1,1) \)

\( v_{2}=(3,2) \)

3. AWB in die Lösung einsetzen

\( x(t)=-e^{-t}\left(e^{5 t}-3\right) \)

\( y(t)=e^{-t}\left(e^{5 t}+2\right) \)

Aufgabe 2 funktioniert analog ohne AWB