System linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Question

Hallo Community,

ich bereite mich gerade auf die Klausur Mathe III für Ingenieure vor und stolper bei den DGL-Systemen noch über ein paar Hürden zwecks des Fahrplans zu folgenden Aufgabenstellungen:

Aufgabe 1:

Lösen Sie das System linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
\( \begin{array}{c} \vec{y}^{\prime}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) \vec{y} \end{array} \)

Im Papula finden sich nur Ansätze bzgl. 2x2-Matrizen.

Mein Ansatz:

1. Bestimmung der Eigenwerte: λ1=3 , λ2= √(2) +1 , λ3= -√(2) +1

2. Bestimmung der Eigenvektoren zu λ1: z.B. [1,3,0]

                                                           λ2: z.B. [1,√(2) +1,0]

                                                           λ3: z.B. [1,-√(2) -1,0]

3.Bestimmung der Lösung: y(x) = c1 * e^((√(2)+1)x) [1,√(2) +1,0] + c2 * e^((-√(2)+1)x) [1,-√(2) -1,0] + c3 * e^(3x) [1,3,0]

Frage: Ist der "Fahrplan" zut Lösung erst einmal korrekt abegeleitet? Bei Punkt 2 bin ich mir über die Richtigkeit meiner Ergebnisse unschlüssig, da das Aufstellen der EV meiner Erkenntnis nach mehr auf Logik als auf rein mathemtischen Schritten basiert. Wäre schön, wenn das ein Profi kurz nachrechnen oder erklären könnte, wie man genau zur allgemeinen Lösung gelangt.

Answer 1

Der Fahrplan stimmt.

Punkt 1 ist richtig

Punkt 2)

ich habe erhalten:

v₁ = (0, 0, 1)

v₂ = (-1 + √2, 1, 0)

v₃ = (-1 - √2, 1, 0)

Meine Rechnung:

Comments

Ist dies somit dann die allgemeine Lösung der Aufgabe?

Und vielen Dank für die schnelle Antwort :-)

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so ist es

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Zur weiteren Übung habe ich mich auf Basis des oben genannten Rechenweges an eine weitere Aufgabe gemacht.

Anfangswertproblem
\( \vec{y}^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right) \vec{y}, \quad \vec{y}(0)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \)

Hier mein Rechenweg bis zur allgemeinen (meines Erachtens falsch aufgestellten) Lösung.

Wie man dort die Anfangsbedigung unterbringt, erschließt sich mir noch nicht.

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Die AWB setzt Du in die allgemeine Lösung ein.

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Mein Stolperstein dabei sind die Vektoren mit (1/i) für y1.

Keine Ahnung, wie ich dabei auf die Konstanten C1...C5 kommen kann.

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Hier nochmal die eingesetzten Werte, die zu unsinnigen Lösungen führen :(

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Bei der charakt. Gleichung habe ich erhalten:

- λ^3 +3 λ^2 +λ -3 =0

Eigenwerte:

λ₁= 1

λ₂= 3

λ₃= -1

Eigenvektoren:

v₁ = (1, 0, 1)

v₂ = (-1, 0, 1)

v₃ = (0, 1, 0)

Lösungen mit AWB:

y₁ = 1/2 e^(-x) (e^(4 x) + 1)

y₂ = e^x

y₃= 1/2 e^(-x) (e^(4 x) - 1)