(Systeme linearer DGL 1 Ordnung)
Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden Systeme linearer DGL 1 OrdnungSei \(y = \begin{bmatrix} y_{1}(t) \\ y_{2}(t)\end{bmatrix}\)
a) \( y' = \begin{bmatrix} 1 & 12 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\)
b) \( y' = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} y \)
Lösen Sie das Anfangswertproblem für b) mit
\(y(0) = \begin{bmatrix} y_{1}(0) \\ y_{2}(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\1 \end{bmatrix}\)
Problem: Ich will eigentlich nur sicherstellen ob ich es richtig verstanden habe. Das Vorgehen ist doch vom Prinzip so ähnlich wie bei funktionen, nur das man auch noch die eigenvektoren mit bestimmt, oder?
Also würde doch bei Aufgabe a) das rauskommen
\( y(t) = A e^{\lambda_{1} t} v_{1} + B e^{\lambda_{2} t} v_{2} \) \( y(t) = \begin{bmatrix} 2A e^{7t} - 2B e^{-5t} \\ A e^{7t} + B e^{-5t} \end{bmatrix} \)
(Lösung) Ist das richtig?
Und bei b) wird genau das selbe gemacht, nur das man den Anfangswertproblem mit hinzu fügt wird.Das heißt die allgemeine lösung von b) ist:
\( y(t) = e^t \begin{bmatrix} 2 \cos(\sqrt{6} \, t) \\ \cos(\sqrt{6} \, t) \end{bmatrix} \) ???
Habe ich es richtig berechnet oder habe ich was falsch gemacht?
