Systeme von Dgl: Einsetzverfahren. y1'= 1+y2; y2'= x-y1

Question

da ich leider aus der Erklärung heraus ohne Beispiel nicht weiter weiß, wie ich überhaupt vorgehe:

Welche Vorgehesweise ist hier nötig, um um das System von Dgl erst allgemein, und dann mit den Anfangsbedingungen y₁(0)= 0 und y₂(0)=1 zu lösen? Ich soll auch eine Probe machen.

y₁' = 1+y₂

y₂' = x-y₁

_{WIe gehe ich hier allgemein vor? Also was setze ich wo und warum ein, wie mache ich dann weiter? Eine generelle Beschreibung des Vorgehens würde mir schn sehr helfen. Danke.}

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Vielleicht so: \(y_2^{\prime\prime}+y_2=1-y_1^\prime+y_1^\prime-1=0.\)

Answer 1

Eine Möglichkeit:

Schreibe das DGL - system um in:

y₁ '=         y₂  +1

y₂ '= -y₁         +x

Wende dann den folgenden Weg an:

1.) Eigenwerte bestimmen

2.) Eigenvektoren bestimmen

3.) homogene Lösung aufschreiben

4.) yp bestimmen  und  yp und yp' in die DGL einsetzen

5) entstehendes Gleichungssystem lösen, ggf. Koeffizientenvergleich

6)y= y_h+y_p

_{7) AWB in die Lösung einsetzen}

Lösung:

y₁= x +sin(x)

y₂ = cos(x)

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ODER

Wenn das wirklich mit dem Einsetzverfahren getan werden soll:

https://books.google.de/books?id=bZiSBwAAQBAJ&pg=PA583&lpg=PA583&dq=Systeme+von+Dgl:+Einsetzverfahren&source=bl&ots=1Ou1FsEx5k&sig=HUJXgfjc9AxuCVyCKGAA-CBvcPc&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwifk4rD95XWAhWFHxoKHfhsDZcQ6AEIYTAJ#v=onepage&q=Systeme%20von%20Dgl%3A%20Einsetzverfahren&f=false

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Ja, es SOLL mit dem Einsetzungsverfahren gelöst werden. Auf dem Bild ist mein erster Ansatz. Meine Frage hierzu: letzte Zeile auf dem Bild: ist die Ableitung dann y1'' und die -1 fällt weg? Oder ist es nur y1'?  Also kurz gesagt, muss ich hier y so behandeln wie normalerweise x? 

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y₂'= y₁''

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Okay, danke. Ab jetzt komme ich nicht mehr weiter. Was ist der nächste Schritt?

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y₂' =x -y₁

y₁'' =x -y₁

y₁'' +y₁= x

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Danke. Ich stehe leider gerade ziemlich auf dem Schlauch. Ich dachte, dass man auf eine charakteristische Gleichung hinausarbeitet. In einem anderen Beispiel kam nicht y und x vor, sondern nur y.  Ich weiß leider gar nicht, wie ich damit umgehen soll. Ich weiß dass das gerade sehr mühsam ist mit mir. Aber kann ich noch um weitere Schritte oder eine Erklärung bitten, wie ich weiter verfahre?

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Klar doch,

charakt.Gleichung:

k^2 +1=0

---->k_1,2= ±i

--->yh=C₁ cos(x)+C₂ sin(x)

y_p= A+Bx

y_p'= B

y_p'' =0

->eingesetzt in die Aufgabe:

A+Bx=x

--->Koeffizientenvergleich:

x^0: A=0

x^1: B=1

----->

yp=x

--->

y₁=yh+yp

y₁=C₁ cos(x)+C₂ sin(x) +x

y1'=C₁ (-) sin(x)+C₂ cos(x)+1

y₂=y₁'-1

y₂=  -C₁ sin(x)+C₂ cos(x)

nun noch die AWB eingesetzt:

C₁=0

C₂=1

-->Ergebnis : siehe oben

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Alles klar Da kommt mir dann doch einiges bekannt vor : )

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eine letzte Frage noch:

wie setze ich die ANfangsbedingungen ein? Es gibt ja zwei verschiedene Gleichungen, also y₁ und y₂ und ich habe JEWEILS C₁ und C_2. Wie bekomme ich dann insgesamt nur EIN C₁ und EIN C₂ heraus?

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wie setze ich die Anfangsbedingungen ein?

y₁=C₁ cos(x)+C₂ sin(x) +x 

y1(0)=0 ------>

0=C₁ cos(0)+C₂ sin(0) +0 --------->C1=0

y₂=  -C₁ sin(x)+C₂ cos(x) 

1= 0+C₂*1 ---->C₂=1

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Wozu ist für diese Schritte hier die erste ABleitung gebildet? Eingesetzt sind die Anfangswerte ja letztendlich nicht in die Ableitung..

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ist nicht nötig.