\(f(x)= -\frac{1}{6} x^ 3 +1,5 t x +4\)
a) Welche Gemeinsamkeiten haben alle Kurven von K?
Die Graphen haben den gemeinsamen Punkt P\(0|4)\) Dieser Punkt ist auch Wendepunkt
\(f'(x)= -\frac{1}{2} x^ 2 +1,5 t \)
\(f''(x)= - x\)
\(- x=0\)
\( x=0\)
b) Zeigen Sie, dass K lokale Extrempunkte besitzt.
\(f'(x)= -\frac{1}{2} x^ 2 +1,5 t \)
\( -\frac{1}{2} x^ 2 +1,5 t=0 \)
\( x^ 2 =3t \)
\(x_1=\sqrt{3t} \)
\(x_2=-\sqrt{3t} \)
Dies gilt nur für \(t>0\) für \(t=0\) ist dann dort ein Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagerechter Tangente) . Für \(t<0\) gibt es keine Lösung ∈ ℝ
c) Für welchen Wert von t berührt K die x-Achse?
\(f(-\sqrt{3t})= -\frac{1}{6} (-\sqrt{3t})^ 3 +1,5 t (-\sqrt{3t})+4\)
\( -\frac{1}{6} (-\sqrt{3t})^ 3 +1,5 t (-\sqrt{3t})+4=0\)
\( t≈1,74716\)
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