Berechnen Sie die Funktionsgleichung! a) Polynom 3. Grades mit H(-1| 32/9), W(1|w) durch P(0|3). b)…

Question

a) Berechnen Sie die Gleichung der Parabel dritten Grades, die in A (-1/32:9) einen Hochpunkt und an der Stelle x = 1      einen Wendepunkt besitzt. Außerdem schneidet der Graf die Y-Achse bei y = 3.    

b) 1. Geben Sie auf der Basis der folgenden Informationen nur das Gleichungssystem an, das die Berechnung der Funktionsgleichung ermöglichen würde.

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat in Q1 (0/1) ihren Wendepunkt und in Q2 (-2/3) eine Tangente, die parallel zur x-Achse verläuft.

2. Stellen Sie die Funktionsgleichung auf!

Answer 1

a) Parabel dritten Grades: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Hochpunkt in A(-1, 32/9): f(-1) = 32/9 und f'(-1) = 0

Schnittpunkt mit der y-Achse bei y=3: f(0) = 3

Wendepunkt bei x=1: f''(1) = 0

Nun sammelt man alle Informationen:

I)     -a + b - c + d = 32/9

II)   3a - 2b + c = 0

III) d = 3

IV) 6a + 2b = 0

Zunächst subtrahiert man III von I und eliminiert damit d:

-a + b - c = 5/9
3a - 2b + c = 0
6a + 2b = 0

a - b + c = -5/9
     b - 2c = 5/3
     6b-2c = 0

a - b + c = -5/9
    -5b     = 5/3
        10c= -10

a - b + c = -5/9
      b       = -1/3
            c  = -1

a + 1/3 - 1 = -5/9

a = 1/9

Damit lautet die Lösung:

f(x) = 1/9 x³ - 1/3 x² - x + 3

 

b) Ganzrationale Funktion 3. Grades: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Wendepunkt in Q1(0, 1): f(0) = 1, f''(0) = 0

Horizontale Tangente in Q2(-2, 3): f(-2) = 3, f'(-2) = 0

Das Gleichungssystem lautet also:

I) d = 1
II) 2b = 0
III) -8a + 4b - 2c + d = 3
IV) 12a - 4b + c = 0

Zu Lösung setzt man zunächst I und II in die anderen beiden Gleichungen ein:

-8a - 2c + 1 = 3
12 a + c = 0

-8a - 2c = 2
c = -12a

Setze die zweite in die erste ein:

-8a + 24a = 2

16a = 2

a = 1/8

Eingesetzt in eine der Gleichungen oben:

c = -3/2

Also lautet die Funktionsgleichung:

f(x) = 1/8 x³ - 3/2 x + 1

Comments

In der Tat die einleuchtendere Interpretation.
Hatte mich da wohl verrechnet (hab das auch probiert)^^.

Grüße

Answer 2

Hi,

Man spricht nur von einer von einer Parabel, wenn man es von Funktionen vom Grad 2 zu tun hat. Das ist hier nicht der Fall ;).

 

a)

Allgemeiner Ansatz: f(x)=y=ax³+bx²+cx+d

Es braucht also 4 Bedingungen, da 4 Unbekannte:

f(-1/32)=9

f'(-1/32)=0

f''(1)=0

f(0)=3

 

Es ergeben sich also:

-1/32768·a + 1/1024·b - 1/32·c + d = 9
3/1024·a - 1/16·b + c = 0
6·a + 2·b = 0
d = 3

 

Mittels Additionsverfahren oder Ähnlichem gelöst ergibt sich die recht unschöne Funktion f(x) = 98304/49·x³ - 294912/49·x² - 18720/49·x + 3

 

b)

Allgemeiner Ansatz: f(x)=y=ax³+bx²+cx+d

Es braucht also 4 Bedingungen, da 4 Unbekannte:

f(0)=1

f''(0)=0   (Bedingung für Wendepunkt)

f(-2)=3

f'(-2)=0   (Steigung ist 0)

 

Also:

d = 1
2b = 0
-8a + 4b - 2c + d = 3
12a - 4b + c = 0

Daraus ergibt sich dann die Funktionsgleichung: f(x) = 0,125·x³ - 1,5·x + 1

 

Grüße

 

Comments

Für die a) siehe Julian.

Answer 3

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat in \(Q_1 (0|1)\) ihren Wendepunkt und in \(Q_2 (-2|3)\) eine Tangente, die parallel zur x-Achse verläuft.

In \(Q_2 (-2|\red{3})\) eine Tangente, die parallel zur x-Achse verläuft:

Ich verschiebe den Graph um  \(\red{3}\) Einheiten nach unten

\(Q_2´ (-2|0)\)  Hier liegt nun eine doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a \cdot (x+2)^2(x-N)\)

\(Q_1 (0|1)\)  → \(Q_1´(0|-2)\)

\(f(0)=a \cdot (0+2)^2(0-N)=-4a \cdot N\)

\(-4a \cdot N=-2\)   →\(2a \cdot N=1\)    →\(a= \frac{1}{2N} \) 

\(f(x)=\frac{1}{2N} \cdot [(x+2)^2(x-N)]\)

Wendepunkteigenschaft:

\(f'(x)=\frac{1}{2N} \cdot [(2x+4)(x-N)+(x+2)^2]\)

\(f''(x)=\frac{1}{2N} \cdot [(2 \cdot(x-N)+(2x+4)+(2x+4)]=\frac{1}{2N} \cdot [(-2N+6x+8]\)

\(f''(0)=\frac{1}{2N} \cdot [(-2N+8]\)

\(\frac{1}{2N} \cdot [(-2N+8]=0\)

\(N=4\)

\(a= \frac{1}{8} \)

\(f(x)= \frac{1}{8} \cdot (x+2)^2(x-4)\)

\(\red{3}\) Einheiten nach oben

\(p(x)= \frac{1}{8} \cdot (x+2)^2(x-4)+3\)