Bestimmen Sie die Funktionsgleichung! Polynom 3. Grades durch A(9|0), mit T(0|0) und f'(9)= -9.

Question

Der Graph einer Funktion dritten Grades geht durch den Punkt A (9/0). Die Tangente in A hat die Steigung -9. Im Koordinatenursprung ist der Tiefpunkt der Parabel.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!

Answer 1

Hi,

die allgemeine Funktion hat die Form f(x)=y=ax³+bx²+cx+d

Stelle die Bedingungen auf:

f(9)=0    (Punkt A)

f'(9)=-9 (Steigung am Punkt A)

f(0)=0   (Punkt O -> Ursprung)

f'(0)=0   (Tiefpunkt/Scheitelpunkt am Ursprung)

 

Es ergeben sich also die vier Gleichungen:

729a + 81b + 9c + d = 0
243a + 18b + c = -9
d = 0
c = 0

c und d sind offensichtlich schon 0.

Additionsverfahren oder Ähnliches um a und b zu bestimmen:

a=-1/9

b=1

 

Unser Polynom vom Grad 3 lautet also: y=-1/9*x³+x²

 

Klar?

Grüße

Comments

Mir ist nicht ganz klar wie man auf die Gleichungen kommt. Bei der ersten kann ich das wohl noch nachvollziehen, aber bei der 2. komm ich nicht drauf was man da rechnen muss.

Gruß

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Die allgemeine Form lautet ja

f(x)=y=ax³+bx²+cx+d

Die Ableitung

f'(x)=3ax²+2bx+c

Nun haben wir ja f'(9)=-9, also einsetzen:

3*a*9²+2*b*9+c=-9

243a + 18b + c = -9

 

Klar? ;)

Answer 2

"Der Graph einer Funktion dritten Grades geht durch den Punkt A (9|0). Die Tangente in A hat die Steigung -9. Im Koordinatenursprung ist der Tiefpunkt der Parabel."

Lösung mit der Nullstellenform der kubischen Parabel:

\(f(x)=a*[x^2*(x-9)]\)

\(f´(x)=a*[2x*(x-9)+x^2*1]\)

\(f´(9)=a*[2*9*(9-9)+9^2]=81a\)

\(81a=-9→a=-\frac{1}{9}\)

\(f(x)=-\frac{1}{9}*x^2*(x-9)\)