Häufungspunkte und innere Punkte von Mengen

Question

Mit folgende Aufgabe tu ich mich leider sehr schwer :( Es wäre nett wenn mir da jemand unter die Arme greifen könnte und es mir erklären kann.

  a) Gegeben seien die folgenden Mengen:
$$ \begin{array}{l} {D_{1}=\left|7,10\left[, \quad D_{2}=[-4,4] \cup\left\{\frac{9 n}{1-2 n} | n \in \mathbb{N}\right\}\right.\right.} \\ {D_{3}=\left\{\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} | 0 \leq y \leq 1-x^{2}\right\}} \end{array} $$
Für jede Menge gebe man die Menge ihrer Häufungspunkte D' bzw. inneren Punkte \(D^{0}\) an, und kläre, ob die Menge abgeschlossen oder offen ist.

Mit allen anderen Aufgaben kam ich ansonsten zurecht.

Answer 1

D1   das ist ein offenes Intervall
Die Menge der inneren Punkte ist die Menge selbst    alsoD1^o   = D1
Häufungspunkte sind alle Punkte von D1 und zusätzlich 7 und 10,
letztlich das Intervall [7,10] = D1 '
wenn du das mit dem "offen" noch genauer beweisen musst:

Zu jedem x aus D1 gibt es eine ganze Umgebung von x, die vollständig in D1 liegt,
kann man etwa so einsehen:
sei x aus D1 dann gilt  7 < x  < 10
dann ist x-7 = e1 und 10-x = e2 und beide e's sind positiv
sei e das minimum von e1,e2 , dann liegt die Umgebung um
x mit dem radius e/2 sicherlich vollständig in D1.

D2    [-4;4] ist ein abgeschlossenes Intervall und die zweite Menge besteht aus den
Gliedern einer Folge mit dem Grenzwert -4,5.

Häufungspunkte sind also alle Punkte von   [-4;4] und zusätzlich der Grenzwert -4,5.
innere Punkte sind nur die Elemente von ]-4;4 [ 
denn bei allen anderen gibt es in jeder Umgebung auch immer Elemente, die nicht in D2 sind.
Aus diesem Grunde ist die Menge auch nicht offen.
abgeschlossen hieße, das Komplement von D2 müsste offen sein.
Im Komplement von D2 liegt aber der Grenzwert -4,5 und in jeder Umgebung um ihn liegen nach
der Grenzwertdefinition Elemente von D2, also enthält das Komplement von D2 eine Zahl,
nämlich -4,5 die in jeder Umgebung Elemente von D2 ( also nicht im Komplement von D2) enthält,
Also ist das Komp. nicht offen und damit D2 auch nicht abgeschlossen.

D3   offen ist die Menge nicht. Denn z.B. für x=0,5 sind alle Punkte
(0,5 / y) mit     0 <= y <= 0,75 in der Menge, also auch P(0,5 / 0,75), aber in jeder
Umgebung von P liegen Punkte mit (0,5  / z ) und z > 0,75.

innere Punkte sind alle mit o < y < 1-x^2
und die Menge der Häufungspunkte ist D3 selbst, also auch abgeschlossen.